\int e^{9 x} \cdot d x

Passo 1

O enunciado pede encontrar a primitiva de e^{9x}, ou seja, calcular a integral indefinida
\int e^{9x}\,dx.
O conteúdo que vamos usar é a regra de integração de funções exponenciais da forma e^{a x}, que diz que
\int e^{a x}\,dx = \frac{1}{a}e^{a x} + C,
ou, alternativamente, podemos aplicar uma substituição simples para chegar a esse resultado.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = 9x, \quad dt = 9\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{dt}{9}.
Substituindo na integral, fica
\int e^{9x}\,dx = \int e^{t}\,\frac{dt}{9} = \frac{1}{9}\int e^{t}\,dt.

Passo 3

Sabemos que
\int e^{t}\,dt = e^{t} + C,
então
\frac{1}{9}\int e^{t}\,dt = \frac{1}{9}e^{t} + C.
Voltando à variável original x (isto é, t=9x), obtemos
\frac{1}{9}e^{9x} + C.

Resposta

A integral \int e^{9x}\,dx é
\frac{1}{9}e^{9x} + C.

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