\int_{0}^{1}\left(x^{2}+2 x\right) e^{x-1} d x

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a integral
\int_{0}^{1}(x^{2}+2x)e^{x-1}\,dx.
O conteúdo principal é encontrar uma primitiva e usar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Observe que a função
F(x)=x^{2}e^{x-1}
satisfaz, pela regra do produto (com u=x^{2} e v=e^{x-1}),
F'(x)=2x\,e^{x-1}+x^{2}e^{x-1}=(x^{2}+2x)e^{x-1}.
Ou seja, F'(x) é exatamente o nosso integrando, logo F é uma antiderivada.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos
\int_{0}^{1}(x^{2}+2x)e^{x-1}\,dx =F(1)-F(0).

Passo 4

Basta calcular
F(1)=1^{2}e^{1-1}=e^{0}=1, \quad F(0)=0^{2}e^{0-1}=0.
Logo
\int_{0}^{1}(x^{2}+2x)e^{x-1}\,dx=1-0=1.

Resposta

1

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