\int_{0}^{1}\left(\pi^{2}+1\right) \operatorname{sen}((x-1) \pi) e^{x-1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1}(\pi^{2}+1)\,\sin\bigl((x-1)\pi\bigr)\,e^{\,x-1}\,dx.
O conteúdo que vamos usar é a técnica de mudança de variável seguida da fórmula padrão
\int e^{at}\sin(bt)\,dt = \frac{e^{at}}{a^{2}+b^{2}}\bigl(a\sin(bt)-b\cos(bt)\bigr)+C.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
t = x-1, \quad dt = dx,
de modo que, quando x=0 temos t=-1, e quando x=1 temos t=0. Assim a integral vira
\int_{-1}^{0}(\pi^{2}+1)\,e^{t}\,\sin(\pi t)\,dt.

Passo 3

Usamos a fórmula com a=1 e b=\pi:
\int e^{t}\sin(\pi t)\,dt = \frac{e^{t}}{1+\pi^{2}}\bigl(\sin(\pi t)-\pi\cos(\pi t)\bigr)+C.
Multiplicando por \pi^{2}+1, obtemos o primitivo
F(t) = e^{t}\bigl(\sin(\pi t)-\pi\cos(\pi t)\bigr).

Passo 4

Avaliaremos F(t) em t=0 e t=-1:
Para t=0:
F(0) = e^{0}\bigl(\sin0-\pi\cos0\bigr) = -\pi.
Para t=-1:
F(-1) = e^{-1}\bigl(\sin(-\pi)-\pi\cos(-\pi)\bigr) = e^{-1}\bigl(0 - \pi\cdot(-1)\bigr) = \pi e^{-1}.
Logo a integral vale
F(0)-F(-1) = -\pi - \pi e^{-1} = -\pi\bigl(1+e^{-1}\bigr).

Resposta

-\pi\bigl(1+e^{-1}\bigr).

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