Sejam
e
definidas em
tais que
e
a) Determine uma equação
que admite
e
como soluções.
b) Ache a solução geral da equação encontrada no item (a).
a) Determine uma equação
b) Ache a solução geral da equação encontrada no item (a).
Passo 1
O enunciado pede para construir uma equação diferencial linear de segunda ordem na forma
de modo que as funções
; e
sejam soluções. Em seguida, devemos encontrar a solução geral dessa equação. O conteúdo é teoria de equações lineares de 2ª ordem com coeficientes variáveis e o uso do fato de que, conhecendo duas soluções independentes, constrói-se imediatamente a solução geral.
sejam soluções. Em seguida, devemos encontrar a solução geral dessa equação. O conteúdo é teoria de equações lineares de 2ª ordem com coeficientes variáveis e o uso do fato de que, conhecendo duas soluções independentes, constrói-se imediatamente a solução geral.
Passo 2
Para que
seja solução de
calculamos
e substituímos:
Isso gera a equação
Passo 3
Para que
seja solução, temos
e a substituição dá
Assim obtemos o sistema para
e
:
Subtraindo a primeira da segunda:
E então
Logo a equação procurada é
Passo 4
Já que
e
são duas soluções independentes (o Wronskiano
para
), a solução geral da equação é dada por
onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
A equação de 2ª ordem que admite
e
como soluções é
e sua solução geral é