Sejam f e g definidas em ] 1,+\infty\left[\right. tais que f(x)=e^{x} e g(x)=x
a) Determine uma equação y^{\prime \prime}+f(x) y^{\prime}+g(x)=0 que admite f e g como soluções.
b) Ache a solução geral da equação encontrada no item (a).

Passo 1

O enunciado pede para construir uma equação diferencial linear de segunda ordem na forma
y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = 0
de modo que as funções \;y_1(x)=e^x; e \;y_2(x)=x
sejam soluções. Em seguida, devemos encontrar a solução geral dessa equação. O conteúdo é teoria de equações lineares de 2ª ordem com coeficientes variáveis e o uso do fato de que, conhecendo duas soluções independentes, constrói-se imediatamente a solução geral.

Passo 2

Para que y_1=e^x seja solução de
y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = 0,
calculamos
y_1' = e^x,\quad y_1'' = e^x
e substituímos:
e^x + p(x)\,e^x + q(x)\,e^x = 0 \quad\Longrightarrow\quad 1 + p(x) + q(x) = 0.
Isso gera a equação
p(x) + q(x) = -1.

Passo 3

Para que y_2=x seja solução, temos
y_2' = 1,\quad y_2'' = 0,
e a substituição dá
0 + p(x)\cdot1 + q(x)\,x = 0 \quad\Longrightarrow\quad p(x) + x\,q(x) = 0.
Assim obtemos o sistema para p e q:
\begin{cases} p(x) + q(x) = -1,\\\ p(x) + x\,q(x) = 0. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda:
(x\,q - q) = 1 \quad\Longrightarrow\quad q(x)\,(x-1) = 1 \quad\Longrightarrow\quad q(x) = \frac{1}{x-1}.
E então
p(x) = -1 - q(x) = -1 - \frac{1}{x-1} = -\frac{x}{\,x-1\,}.
Logo a equação procurada é
\boxed{y'' - \frac{x}{\,x-1\,}\,y' + \frac{1}{\,x-1\,}\,y = 0.}

Passo 4

Já que y_1=e^x e y_2=x são duas soluções independentes (o Wronskiano \;W=e^x(1-x)\neq0 para x\neq1), a solução geral da equação é dada por
y(x) = C_1\,e^x + C_2\,x,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Resposta

A equação de 2ª ordem que admite e^x e x como soluções é
y'' - \frac{x}{\,x-1\,}\,y' + \frac{1}{\,x-1\,}\,y = 0,
e sua solução geral é
y(x) = C_1\,e^x + C_2\,x.

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