Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral definida
Informações dadas: o integrando é a função
e os limites de integração são
(inferior) e
(superior). A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral.
Passo 2
Ideia geral (sem ainda fazer contas): temos um produto de duas funções,
e
. Quando aparece um logaritmo multiplicado por uma função polinomial, o método natural é a integração por partes, porque a derivada do
é mais simples que ele próprio. Não vou usar nenhum método esquisito: vou aplicar integração por partes.
Passo 3
Lembra da fórmula de integração por partes. Ela vem da regra do produto para derivadas. A regra do produto diz:
Integrando ambos os lados obtemos
Como
, rearranjamos e escrevemos a fórmula padrão:
Aqui
é uma função de
,
é outra parte do integrando escrita como diferencial,
é a derivada de
vezes
e
é uma primitiva de
. Essa fórmula vale para integrais indefinidas; para definidas usamos a mesma fórmula e aplicamos os limites depois.
Passo 4
Escolha de
e
. Para
é conveniente tomar
Motivo: ao derivar
obtemos algo simples,
; e
é fácil de integrar para achar
.
Passo 5
Calcular
e
. Derivando
e integrando
:
Passo 6
Aplicar a fórmula de integração por partes (indefinida) e simplificar:
Agora integrar
:
Portanto uma primitiva é
Passo 7
Passar para a integral definida e avaliar entre
e
:
Calcule
e
:
pois
. Subtraindo:
Passo 8
Verificação rápida (confiança): podemos derivar
e ver que
. Isso confirma que a primitiva está correta, e então a avaliação definida acima é confiável. Bom trabalho — você chegou lá!