\int_{1}^{2} x \ln x d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral definida
\int_{1}^{2} x \ln x \, dx.
Informações dadas: o integrando é a função \,x\ln x e os limites de integração são 1 (inferior) e 2 (superior). A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Ideia geral (sem ainda fazer contas): temos um produto de duas funções, x e \ln x. Quando aparece um logaritmo multiplicado por uma função polinomial, o método natural é a integração por partes, porque a derivada do \ln x é mais simples que ele próprio. Não vou usar nenhum método esquisito: vou aplicar integração por partes.

Passo 3

Lembra da fórmula de integração por partes. Ela vem da regra do produto para derivadas. A regra do produto diz:
(uv)' = u'v + uv'.
Integrando ambos os lados obtemos
\int (uv)' \, dx = \int u'v \, dx + \int uv' \, dx.
Como \int (uv)' \, dx = uv, rearranjamos e escrevemos a fórmula padrão:
\int u\, dv = uv - \int v\, du.
Aqui u é uma função de x, dv é outra parte do integrando escrita como diferencial, du é a derivada de u vezes dx e v é uma primitiva de dv. Essa fórmula vale para integrais indefinidas; para definidas usamos a mesma fórmula e aplicamos os limites depois.

Passo 4

Escolha de u e dv. Para \int x\ln x\,dx é conveniente tomar
u = \ln x,\qquad dv = x\,dx.
Motivo: ao derivar u=\ln x obtemos algo simples, du=\frac{1}{x}dx; e dv=x\,dx é fácil de integrar para achar v.

Passo 5

Calcular du e v. Derivando u e integrando dv:
du = \frac{1}{x}\,dx, \qquad v = \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.

Passo 6

Aplicar a fórmula de integração por partes (indefinida) e simplificar:
\int x\ln x\,dx = uv - \int v\,du = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \int \frac{x}{2}\,dx.
Agora integrar \frac{x}{2}:
\int \frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{4}.
Portanto uma primitiva é
F(x)=\frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4}.

Passo 7

Passar para a integral definida e avaliar entre 1 e 2:
\int_{1}^{2} x\ln x\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4}\right]_{1}^{2}.
Calcule F(2) e F(1):
F(2)=\frac{2^{2}}{2}\ln 2 - \frac{2^{2}}{4} = 2\ln 2 - 1,
F(1)=\frac{1^{2}}{2}\ln 1 - \frac{1^{2}}{4} = \frac{1}{2}\cdot 0 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4},
pois \ln 1=0. Subtraindo:
\int_{1}^{2} x\ln x\,dx = (2\ln 2 - 1) - \left(-\frac{1}{4}\right) = 2\ln 2 - 1 + \frac{1}{4} = 2\ln 2 - \frac{3}{4}.

Passo 8

Verificação rápida (confiança): podemos derivar F(x)=\dfrac{x^{2}}{2}\ln x - \dfrac{x^{2}}{4} e ver que F'(x)=x\ln x. Isso confirma que a primitiva está correta, e então a avaliação definida acima é confiável. Bom trabalho — você chegou lá!

Resposta

2\ln 2 - \dfrac{3}{4}

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