\int_{0}^{\pi / 4} \frac{2 \operatorname{sen} x-5 \cos x}{\cos x} \cdot d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi/4} \frac{2\,\operatorname{sen} x - 5\,\cos x}{\cos x}\,dx.
O conteúdo envolve simplificar o integrando e usar integrais conhecidas: de \tan x e de uma constante.

Passo 2

Vamos escrever o integrando em termos de funções mais simples. Observe que
\frac{2\,\operatorname{sen} x - 5\,\cos x}{\cos x} = 2\;\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} \;-\;5\;\frac{\cos x}{\cos x} = 2\,\tan x \;-\;5.
Logo a integral vira
\int_{0}^{\pi/4}\!(2\,\tan x - 5)\,dx.

Passo 3

Separemos em duas integrais:
\int_{0}^{\pi/4}2\,\tan x\,dx \;-\; \int_{0}^{\pi/4}5\,dx.
Sabemos que
\int \tan x\,dx = -\ln\bigl|\cos x\bigr|+C \quad\text{e}\quad \int 1\,dx = x + C.
Portanto
\int 2\,\tan x\,dx = 2\bigl(-\ln\!\bigl|\cos x\bigr|\bigr) = -2\,\ln\!\bigl|\cos x\bigr|
e
\int 5\,dx = 5x.

Passo 4

Aplicando os limites de 0 a \pi/4:
\int_{0}^{\pi/4}(2\,\tan x - 5)\,dx = \Bigl[-2\,\ln\!\bigl|\cos x\bigr| - 5x\Bigr]_{0}^{\pi/4}.
Calculemos cada termo:
\cos\bigl(\pi/4\bigr)=\frac{\sqrt2}{2},\quad \cos(0)=1.
Então
-2\,\ln\!\bigl|\cos(\pi/4)\bigr| = -2\,\ln\!\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr) = -2\bigl(-\tfrac12\ln2\bigr) = \ln2,
-2\,\ln\!\bigl|\cos(0)\bigr| = -2\,\ln(1) = 0,
-5\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = -\frac{5\pi}{4}, \quad -5\cdot0 = 0.
Somando tudo:
\bigl(\ln2 - \tfrac{5\pi}{4}\bigr) - 0 = \ln2 - \frac{5\pi}{4}.

Resposta

\ln2 - \frac{5\pi}{4}

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