Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as seguintes integrais definidas:
\int_{-\pi}^{\pi} \operatorname{sen} x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-\pi}^{\pi}\sin x\,dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo, que estabelece que, se F é uma primitiva de f em [a,b], então
\int_{a}^{b}f(x)\,dx = F(b)-F(a).

Passo 2

Precisamos achar uma primitiva de \sin x. Sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl(-\cos x\bigr)=\sin x,
logo uma primitiva de \sin x é
F(x)=-\cos x.

Passo 3

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo com a=-\pi, b=\pi e F(x)=-\cos x, obtemos
\int_{-\pi}^{\pi}\sin x\,dx = \bigl[-\cos x\bigr]_{-\pi}^{\pi} = \bigl(-\cos(\pi)\bigr)\;-\;\bigl(-\cos(-\pi)\bigr).

Passo 4

Calculamos
\cos(\pi)=-1 \quad\text{e}\quad \cos(-\pi)=\cos(\pi)=-1.
Portanto
-\cos(\pi)=1 \quad\text{e}\quad -\cos(-\pi)=1,
e a integral vale
1 - 1 = 0.

Resposta

0

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