\int x^{1 / 4} e^{x^{5 / 4}} d x= ?

Passo 1

O enunciado nos pede calcular a integral indefinida \int x^{1/4}e^{x^{5/4}}\,dx. Vamos usar a técnica de substituição, pois dentro do expoente de e aparece uma função de x cuja derivada está presente fora do expoente.

Passo 2

Definimos a substituição
u = x^{5/4}.
Derivando em relação a x, temos
du = \frac{5}{4}\,x^{1/4}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{1/4}\,dx = \frac{4}{5}\,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de u:
\int x^{1/4}e^{x^{5/4}}\,dx = \int e^{u}\,\frac{4}{5}\,du = \frac{4}{5}\int e^{u}\,du.

Passo 4

A integral de e^{u} é e^{u}. Logo,
\frac{4}{5}\int e^{u}\,du = \frac{4}{5}\,e^{u} + C.
Voltando à variável original x, obtemos
\frac{4}{5}\,e^{x^{5/4}} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{5}e^{x^{5/4}} + C

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