1. Uma partícula descreve um MHS de acordo com a função \mathrm{x}=4,0 \cos (\pi \mathrm{t}-\pi / 2); com x em metros e t em segundos.
    (a) Usando o intervalo de 0,5 \mathrm{~s}, esboce o gráfico da posição com o tempo para o movimento da partícula.
    (b) Escrevas as funções para a velocidade e aceleração com o tempo.
    (c) Determine a amplitude, a fase e a frequência do movimento.

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula em MHS
x(t)=4,0\cos\bigl(\pi t-\tfrac{\pi}{2}\bigr)
com x em metros e t em segundos.
O conteúdo é Movimento Harmônico Simples (MHS), em que precisamos:
– (a) esboçar x versus t para 0\le t\le0,5,s;
– (b) obter v(t) e a(t) por derivação;
– (c) identificar amplitude A, fase \varphi e frequência f.

Passo 2

Para comparar com a forma geral
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)
notamos que
A=4,0\text{ m},\quad \omega=\pi\text{ rad/s},\quad \varphi=-\tfrac{\pi}{2}\text{ rad}.

Passo 3

No intervalo 0\le t\le0,5,s a partícula percorre um quarto de período, pois
T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\pi}=2\text{ s},
logo T/4=0,5,s.
Pontos-chave: \;t=0\Rightarrow x(0)=4\cos(-\pi/2)=0. \;t=0,25\Rightarrow x(0,25)=4\cos(\pi/4-\pi/2)=4\cos(-\pi/4)=2\sqrt2. \;t=0,5\Rightarrow x(0,5)=4\cos(\pi/2-\pi/2)=4.
O esboço é um segmento crescente de uma cossenoide partindo de 0 até 4,m.

Passo 4

Derivando para obter a velocidade:
v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t+\varphi) =-4\pi\sin\bigl(\pi t-\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Usando \sin(\alpha-\pi/2)=-\cos\alpha
v(t)=4\pi\cos(\pi t).
Derivando de novo para a aceleração:
a(t)=\frac{dv}{dt}=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi) =-4\pi^2\cos\bigl(\pi t-\tfrac{\pi}{2}\bigr).
E como \cos(\alpha-\pi/2)=\sin\alpha:
a(t)=-4\pi^2\sin(\pi t).

Passo 5

A frequência em hertz é
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{\pi}{2\pi}=0,5\text{ Hz}.

Resposta

(a) Esboço de x(t)=4\cos(\pi t-\tfrac{\pi}{2}) para 0\le t\le0,5,s: curva crescente de x(0)=0 passando por x(0,25)=2\sqrt2 até x(0,5)=4.
(b)
v(t)=-4\pi\sin\bigl(\pi t-\tfrac{\pi}{2}\bigr)\quad\bigl[=4\pi\cos(\pi t)\bigr],
a(t)=-4\pi^2\cos\bigl(\pi t-\tfrac{\pi}{2}\bigr)\quad\bigl[=-4\pi^2\sin(\pi t)\bigr].
(c)
A=4,0\text{ m},\quad \varphi=-\tfrac{\pi}{2}\text{ rad},\quad f=0,5\text{ Hz}.

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