\int_{0}^{\infty} \frac{3}{\sqrt{(x+1)^{3}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} \frac{3}{\sqrt{(x+1)^{3}}}\,dx.
O conteúdo envolvido é integração de função potência e tratamento de integral imprópria no infinito. Vamos precisar achar uma primitiva de (x+1)^{-3/2} e depois analisar o limite quando o limite superior tende a \infty.

Passo 2

Expressamos a integral imprópria como limite:
\int_{0}^{\infty} \frac{3}{\sqrt{(x+1)^{3}}}\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_{0}^{b}3(x+1)^{-3/2}\,dx.

Passo 3

Calculamos a primitiva de (x+1)^{-3/2}. Seja u = x+1, então du = dx. Logo,
\int (x+1)^{-3/2}\,dx = \int u^{-3/2}\,du = \frac{u^{-1/2}}{-\tfrac12} = -2u^{-1/2}.
Multiplicando por 3, uma primitiva de 3(x+1)^{-3/2} é
F(x) = -6\,(x+1)^{-1/2}.

Passo 4

Avaliamo-la de 0 a b:
\int_{0}^{b}3(x+1)^{-3/2}\,dx = F(b)-F(0) = -6(b+1)^{-1/2} - \bigl(-6\cdot1^{-1/2}\bigr) = -6(b+1)^{-1/2}+6.
Fazendo b\to\infty:
\lim_{b\to\infty}\bigl(-6(b+1)^{-1/2}+6\bigr) = 0 + 6 = 6.

Resposta

6

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