\int_{-\infty}^{-3} \frac{1}{(x+1)^{\frac{2}{3}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{-3} \frac{1}{(x+1)^{\frac{2}{3}}}\,dx
O conteúdo aqui é integrais impróprias: temos um limite inferior que tende a -\infty e a função é f(x)=1/(x+1)^{2/3}, que para x<-1 pode ser escrita como f(x)=1/|x+1|^{2/3}. Precisamos reescrever como limite e testar a convergência.

Passo 2

Escrevemos a integral como limite
\int_{-\infty}^{-3} \frac{1}{(x+1)^{\frac{2}{3}}}\,dx =\lim_{A\to-\infty}\int_{A}^{-3}\frac{1}{|x+1|^{\frac{2}{3}}}\,dx.
Como em [A,-3] temos x+1<0, fica |x+1|=-(x+1). Logo
\int_{A}^{-3}\frac{1}{|x+1|^{\frac{2}{3}}}\,dx =\int_{A}^{-3}\frac{1}{\bigl(-(x+1)\bigr)^{\frac{2}{3}}}\,dx.

Passo 3

Para integrar, faça a mudança de variável
u=-(x+1)\quad\Longrightarrow\quad du=-dx.
Quando x=A, u_A=-(A+1)\to+\infty (pois A\to-\infty). Quando x=-3, u=-(-3+1)=2. Assim
\int_{A}^{-3}\frac{1}{\bigl(-(x+1)\bigr)^{\frac{2}{3}}}\,dx =\int_{u_A}^{2}u^{-\frac{2}{3}}(-du) =\int_{2}^{u_A}u^{-\frac{2}{3}}\,du.

Passo 4

Calcule a primitiva de u^{-2/3}:
\int u^{-\frac{2}{3}}\,du =\frac{u^{1/3}}{\tfrac{1}{3}} =3\,u^{\frac{1}{3}}.
Logo
\int_{2}^{u_A}u^{-\frac{2}{3}}\,du =3\bigl(u_A^{\frac{1}{3}}-2^{\frac{1}{3}}\bigr).
Agora fazemos u_A=-(A+1)\to+\infty. Como u_A^{1/3}\to+\infty, o valor da integral tende a +\infty. Portanto não há convergência.

Resposta

A integral diverge (vale +\infty).

Exercícios relacionados