\int_{0}^{2} \frac{x}{\sqrt[3]{\left(x^{2}-1\right)^{8}}} d x

Passo 1

O enunciado pede avaliar a integral imprópria
I = \int_{0}^{2} \frac{x}{\sqrt[3]{\bigl(x^{2}-1\bigr)^{8}}}\,dx.
O conteúdo envolvido é o estudo de integrais impróprias com singularidade no ponto em que o denominador se anula, aqui em x=1. Para resolver, vamos: (a) identificar a descontinuidade em x=1; (b) partir a integral em duas parcelas impróprias; (c) testar a convergência de cada uma.

Passo 2

Observe que \sqrt[3]{(x^{2}-1)^{8}}=\lvert x^{2}-1\rvert^{8/3}, que se anula em x=1. Então escrevemos
I =\int_{0}^{2}\frac{x}{\lvert x^{2}-1\rvert^{8/3}}\,dx =\int_{0}^{1}\frac{x}{(1-x^{2})^{8/3}}\,dx +\int_{1}^{2}\frac{x}{(x^{2}-1)^{8/3}}\,dx,
ambas definidas como limites laterais em torno de x=1.

Passo 3

Estudamos a primeira parcela
I_{1}=\int_{0}^{1}\frac{x}{(1-x^{2})^{8/3}}\,dx.
Próximo de x=1^{-}, temos x\approx1 e
1-x^{2}=(1-x)(1+x)\approx2(1-x),
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\frac{x}{(1-x^{2})^{8/3}} \sim \frac{1}{\bigl[2(1-x)\bigr]^{8/3}} =C\,(1-x)^{-8/3}.
Como o expoente 8/3>1, a integral
\int^{1}(1-x)^{-8/3}dx
diverge em x=1. Portanto I_{1} não converge.

Passo 4

Bastou mostrar que a parte de 0 a 1 diverge para concluir que a integral original não converge em todo o intervalo [0,2].

Resposta

A integral é divergente e não converge a um valor finito.

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