\int_{0}^{\infty} \frac{x}{\sqrt[3]{\left(3 x^{2}+1\right)^{5}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} \frac{x}{\sqrt[3]{\bigl(3x^{2}+1\bigr)^{5}}}\,dx
Isso envolve uma função com potência fracionária no denominador e limites de integração de 0 a \infty. Vamos usar uma substituição do tipo t=3x^{2}+1 para simplificar a integral e depois avaliar como integral imprópria.

Passo 2

Fazendo a mudança de variável
t = 3x^{2}+1
temos
dt = 6x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{dt}{6}.
Quando x=0, t=3\cdot0^{2}+1=1.
Quando x\to\infty, t\to\infty.

Passo 3

Em termos de t, a integral fica
\int_{0}^{\infty} \frac{x}{\bigl(3x^{2}+1\bigr)^{5/3}}\,dx = \int_{t=1}^{\infty} \frac{1}{6}\,t^{-5/3}\,dt = \frac{1}{6}\int_{1}^{\infty} t^{-\tfrac{5}{3}}\,dt.
Para integrar t^{-5/3}, usamos a regra de potências:
\int t^{-\tfrac{5}{3}}\,dt = \frac{t^{-\tfrac{5}{3}+1}}{-\tfrac{5}{3}+1} = \frac{t^{-\tfrac{2}{3}}}{-\tfrac{2}{3}} = -\frac{3}{2}\,t^{-\tfrac{2}{3}}.

Passo 4

Agora avaliamos nos limites 1 a \infty:
\frac{1}{6}\Bigl[-\tfrac{3}{2}\,t^{-\tfrac{2}{3}}\Bigr]_{1}^{\infty} = -\frac{3}{12}\Bigl[\lim_{t\to\infty}t^{-\tfrac{2}{3}} - 1^{-\tfrac{2}{3}}\Bigr] = -\frac{1}{4}\bigl[0 - 1\bigr] = \frac{1}{4}.

Resposta

\frac{1}{4}

Exercícios relacionados