Teste a série quanto a convergência ou divergência.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \cos \left(1 / n^{2}\right)\

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\cos\bigl(1/n^{2}\bigr).
O conteúdo principal aqui é o teste necessário para convergência de séries numéricas: se a série converge, então o termo geral deve tender a zero.

Passo 2

Identificamos o termo geral
\displaystyle a_{n}=(-1)^{n}\cos\bigl(1/n^{2}\bigr).
Um teste inicial é verificar
\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}. Se esse limite não for zero, a série não pode convergir.

Passo 3

Como
\displaystyle \lim_{n\to\infty}\cos\bigl(1/n^{2}\bigr)=\cos(0)=1,
temos
\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}(-1)^{n}\cdot1.
Esse limite não existe (oscila entre +1 e -1) e, em particular, não é zero.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral não tende a zero.

Exercícios relacionados