\int_{-\infty}^{\infty} x e^{-x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty} x\,e^{-x^{2}}\,d x.
O conteúdo aqui é integração de funções ímpares em limites simétricos e propriedades de integrais impróprias.

Passo 2

Definimos f(x)=x\,e^{-x^{2}}. Note que
f(-x)=(-x)\,e^{-(-x)^{2}}=-x\,e^{-x^{2}}=-f(x),
ou seja, f é uma função ímpar. Para integrais impróprias em limites simétricos vale a propriedade
\int_{-a}^{a} f(x)\,d x = 0
sempre que f for ímpar (desde que a integral exista). No limite a\to\infty, temos
\int_{-\infty}^{\infty} x\,e^{-x^{2}}\,d x = 0.

Resposta

0

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