Problema 10 Conhecendo a equação geral das cônicas A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0, determine os coeficientes A, B, C e use o discriminante B^{2}-4 A C para decidir, em cada item abaixo, qual cônica é descrita pela equação dada.
x^{2}+2 \sqrt{3} x y+3 y^{2}-6=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x^{2} + 2\sqrt{3}\,x y + 3\,y^{2} - 6 = 0
e pede para identificar os coeficientes A, B, C da forma geral
A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0
e em seguida usar o discriminante
\Delta = B^{2} - 4 A C
para classificar a cônica.

Passo 2

Comparando termo a termo com
A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0
vemos que
A = 1,\quad B = 2\sqrt{3},\quad C = 3.

Passo 3

Calculamos o discriminante:
\Delta = B^{2} - 4 A C = \bigl(2\sqrt{3}\bigr)^{2} - 4\cdot 1 \cdot 3 = 12 - 12 = 0.

Passo 4

Como \Delta = 0, a cônica é uma parábola (é a condição característica de parábola no caso geral de cônicas).

Resposta

Parábola.

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