Problema 10 Conhecendo a equação geral das cônicas A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0, determine os coeficientes A, B, C e use o discriminante B^{2}-4 A C para decidir, em cada item abaixo, qual cônica é descrita pela equação dada.
x^{2}+4 x y-2 y^{2}=6

Passo 1

Estamos com a equação
x^{2}+4xy-2y^{2}=6
e queremos usar a forma geral das cônicas
Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0
para determinar A, B, C e então aplicar o discriminante
\Delta = B^{2} - 4AC
para classificar a cônica.

Passo 2

Primeiro, colocamos tudo à esquerda, igual a zero:
x^{2}+4xy-2y^{2}-6=0.
Comparando com Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0, obtemos
A = 1,\quad B = 4,\quad C = -2,\quad D=0,\quad E=0,\quad F=-6.

Passo 3

Agora calculamos o discriminante
\Delta = B^{2} - 4AC = 4^{2} - 4\cdot1\cdot(-2) = 16 + 8 = 24.

Passo 4

A regra de classificação é:
\Delta>0 \Rightarrow hiperbola,
\Delta=0 \Rightarrow parábola,
\Delta<0 \Rightarrow elipse (e se ainda A=C e B=0 é círculo).
Como \Delta = 24 > 0, concluímos que a curva é uma hiperbola.

Resposta

A=1,\;B=4,\;C=-2. Como B^{2}-4AC=24>0, a cônica é uma hiperbola.

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