Problema 10 Conhecendo a equação geral das cônicas A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0, determine os coeficientes A, B, C e use o discriminante B^{2}-4 A C para decidir, em cada item abaixo, qual cônica é descrita pela equação dada.
3 x^{2}+5 x y-2 y^{2}-125=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a cônica dada pela equação
3x^{2} + 5xy - 2y^{2} - 125 = 0
usando o discriminante \Delta = B^{2} - 4AC da forma geral
Ax^{2} + Bxy + Cy^{2} + Dx + Ey + F = 0.

Passo 2

Identificamos os coeficientes comparando com a forma geral:
A = 3,\quad B = 5,\quad C = -2.

Passo 3

Calculamos o discriminante
\Delta = B^{2} - 4AC = 5^{2} - 4\cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49.

Passo 4

Como \Delta = 49 > 0, a cônica é uma hipérbole (regra: se \Delta>0, temos hipérbole).

Resposta

A equação descreve uma hipérbole.

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