\int_{0}^{3}\left(1+6 w^{2}-10 w^{4}\right) d w

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{3}\bigl(1 + 6w^{2} - 10w^{4}\bigr)\,dw.
O conteúdo aqui é integração de polinômios, usando a regra
\int w^{n}\,dw = \frac{w^{n+1}}{n+1}.

Passo 2

Integramos cada termo separadamente:
\int 1\,dw = w,
\int 6w^{2}\,dw = 6\cdot\frac{w^{3}}{3} = 2w^{3},
\int (-10w^{4})\,dw = -10\cdot\frac{w^{5}}{5} = -2w^{5}.
Logo, uma primitiva é
F(w) = w + 2w^{3} - 2w^{5}.

Passo 3

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliando de w=0 a w=3:
\int_{0}^{3}\bigl(1 + 6w^{2} - 10w^{4}\bigr)\,dw = F(3) - F(0).

Passo 4

Calculamos
F(3) = 3 + 2\cdot3^{3} - 2\cdot3^{5} = 3 + 2\cdot27 - 2\cdot243 = 3 + 54 - 486 = -429,
F(0) = 0 + 0 - 0 = 0.
Portanto,
F(3) - F(0) = -429.

Resposta

-429

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