\int_{1}^{4}\left(\frac{4+6 u}{\sqrt{u}}\right) d u

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{4}\frac{4+6u}{\sqrt{u}}\,du.
O conteúdo é integração de potências de u. Vamos usar a regra de potência, que diz que
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C,
válida para n\neq -1.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o integrando dividindo cada termo por \sqrt{u}=u^{1/2}. Temos
\frac{4+6u}{\sqrt{u}} =4u^{-1/2}+6u^{1/2}.

Passo 3

Agora integramos termo a termo. Para 4u^{-1/2}:
\int 4u^{-1/2}\,du =4\cdot\frac{u^{1/2}}{\tfrac12} =8u^{1/2}.
Para 6u^{1/2}:
\int 6u^{1/2}\,du =6\cdot\frac{u^{3/2}}{\tfrac32} =4u^{3/2}.
Logo, uma primitiva é
F(u)=8u^{1/2}+4u^{3/2}.

Passo 4

Avaliaremos F(u) de 1 a 4. Primeiro em u=4:
F(4)=8\sqrt{4}+4\,(4)^{3/2} =8\cdot2+4\cdot8 =16+32 =48.
Em u=1:
F(1)=8\sqrt{1}+4\,(1)^{3/2} =8\cdot1+4\cdot1 =8+4 =12.

Passo 5

A integral imprópria fica
\int_{1}^{4}\frac{4+6u}{\sqrt{u}}\,du =F(4)-F(1) =48-12 =36.

Resposta

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