\int_{0}^{\pi}\left(5 e^{x}+3 \operatorname{sen} x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi}\bigl(5e^{x}+3\operatorname{sen} x\bigr)\,dx
O conteúdo envolvido é o Teorema Fundamental do Cálculo: primeiro encontramos as primitivas das funções e depois avaliamos no intervalo de integração.

Passo 2

Separamos a integral em duas partes usando linearidade:
\int_{0}^{\pi}\bigl(5e^{x}+3\operatorname{sen} x\bigr)\,dx =5\int_{0}^{\pi}e^{x}\,dx \;+\;3\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen} x\,dx.

Passo 3

Encontramos as primitivas:
\int e^{x}\,dx = e^{x}, \qquad \int \operatorname{sen} x\,dx = -\cos x.

Passo 4

Aplicamos o Teorema Fundamental avaliando de 0 a \pi:
5\int_{0}^{\pi}e^{x}\,dx =5\bigl[e^{x}\bigr]_{0}^{\pi} =5\bigl(e^{\pi}-1\bigr),
3\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen} x\,dx =3\bigl[-\cos x\bigr]_{0}^{\pi} =3\bigl(-\cos\pi -(-\cos0)\bigr) =3\bigl(-(-1)-(-1)\bigr) =3\cdot2=6.

Passo 5

Somando os resultados:
5\bigl(e^{\pi}-1\bigr)+6 =5e^{\pi}-5+6 =5e^{\pi}+1.

Resposta

5e^{\pi}+1

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