Resolva:
\int \operatorname{sen}^{n} x \cdot \cos ^{m} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}^{n}x\cdot\cos^{m}x\,dx,
onde n e m são expoentes inteiros (presumimos inteiros não-negativos, que é o caso típico). Vou deixar bem claro o que se pede e quais informações temos:
  • Pedido: encontrar uma forma de integrar \int \operatorname{sen}^{n}x\cos^{m}x\,dx em termos de x (ou em termos de funções trigonométricas).
  • Dados: somente a forma geral da integral com expoentes n e m.
  • Observação importante (vai guiar a resolução): o método depende do paridade (ímpar/par) de n e m. Não se resolve essa integral com uma única fórmula universal simples; usa-se um procedimento diferente conforme n ou m sejam ímpares ou pares.

Passo 2

Estratégia geral (resumo prático que vou justificar depois):
  1. Se n é ímpar, escrevo \operatorname{sen}^{n}x=\operatorname{sen}^{n-1}x\cdot\operatorname{sen}x e uso \operatorname{sen}^2x=1-\cos^2x. Substituo u=\cos x, porque du=-\operatorname{sen}x\,dx. Isso transforma a integral em um polinômio em u que é trivial de integrar.
  2. Se m é ímpar, faço a mesma ideia trocando os papéis: extraio um fator \cos x, uso \cos^2x=1-\operatorname{sen}^2x e substituo u=\operatorname{sen}x.
  3. Se ambos n e m são pares, uso identidades de meia-ângulo (power-reduction):
\operatorname{sen}^2x=\frac{1-\cos 2x}{2},\qquad \cos^2x=\frac{1+\cos 2x}{2},
e expando; o integrando vira soma de cossenos de múltiplos de 2x, fáceis de integrar.
4. Existe também uma fórmula de recorrência útil para \int \operatorname{sen}^n x\,dx ou \int \cos^m x\,dx, que eu mostro depois.
Agora vamos desenvolver cada caso com detalhes e exemplos.

Passo 3

Caso A — n ímpar (ex.: n=2k+1 com k\ge0 inteiro).
  • Escrevo
\operatorname{sen}^{n}x=\operatorname{sen}^{2k+1}x=\operatorname{sen}^{2k}x\cdot\operatorname{sen}x=(\operatorname{sen}^2x)^{k}\operatorname{sen}x.
  • Substituo \operatorname{sen}^2x=1-\cos^2x, então o integrando fica
\operatorname{sen}^{n}x\cos^{m}x=(1-\cos^2x)^{k}\cos^{m}x\cdot\operatorname{sen}x.
  • Faço a substituição u=\cos x. Então du=-\operatorname{sen}x\,dx e \operatorname{sen}x\,dx = -du. A integral passa a ser
\int \operatorname{sen}^{n}x\cos^{m}x\,dx = -\int (1-u^2)^{k} u^{m}\,du.
  • O integrando agora é um polinômio em u (expandindo (1-u^2)^k), portanto integra-se termo a termo com potências de u. Depois volta-se a \cos x substituindo u=\cos x.
Exemplo concreto (passo a passo): calcular \int \operatorname{sen}^5x\cos^3x\,dx.
  • Aqui n=5=2\cdot2+1, então k=2.
  • \operatorname{sen}^5x\cos^3x=(\operatorname{sen}^2x)^2\operatorname{sen}x\cos^3x=(1-\cos^2x)^2\cos^3x\operatorname{sen}x.
  • Com u=\cos x, du=-\operatorname{sen}x\,dx:
\int \operatorname{sen}^5x\cos^3x\,dx = -\int (1-u^2)^2 u^3\,du.
  • Expandindo (1-u^2)^2=1-2u^2+u^4:
-\int (u^3-2u^5+u^7)\,du = -\left(\frac{u^4}{4}-\frac{2u^6}{6}+\frac{u^8}{8}\right)+C.
  • Simplificando coeficientes:
= -\frac{u^4}{4} +\frac{u^6}{3} -\frac{u^8}{8} + C.
  • Voltando a x com u=\cos x:
\boxed{\int \operatorname{sen}^5x\cos^3x\,dx = -\frac{\cos^4x}{4} +\frac{\cos^6x}{3} -\frac{\cos^8x}{8} + C.}

Passo 4

Caso B — m ímpar (ex.: m=2\ell+1 com \ell\ge0 inteiro).
  • A ideia é análoga: escrevo \cos^{m}x=\cos^{2\ell}x\cos x e uso \cos^2x=1-\operatorname{sen}^2x.
  • Faço a substituição u=\operatorname{sen}x. Então du=\cos x\,dx e a integral vira um polinômio em u:
\int \operatorname{sen}^{n}x\cos^{m}x\,dx = \int u^{n}(1-u^2)^{\ell}\,du,
que se integra termo a termo depois da expansão.
Exemplo rápido: \int \operatorname{sen}^4x\cos^3x\,dx.
  • Aqui m=3 ímpar, então isolamos um \cos x: \cos^3x=\cos^2x\cos x=(1-\operatorname{sen}^2x)\cos x.
  • Com u=\operatorname{sen}x, du=\cos x\,dx:
\int \operatorname{sen}^4x\cos^3x\,dx = \int u^4(1-u^2)\,du = \int (u^4-u^6)\,du = \frac{u^5}{5}-\frac{u^7}{7}+C.
  • Voltando: \frac{\operatorname{sen}^5x}{5}-\frac{\operatorname{sen}^7x}{7}+C.

Passo 5

Caso C — n e m ambos pares.
  • Uso as identidades de meia-ângulo para reduzir as potências:
\operatorname{sen}^2x=\frac{1-\cos 2x}{2},\qquad \cos^2x=\frac{1+\cos 2x}{2}.
  • Então \operatorname{sen}^{n}x\cos^{m}x vira um produto de potências dessas expressões; ao expandir (binomialmente) obtém-se soma de termos do tipo \cos(k\cdot 2x) multiplicados por constantes (ou seja, funções do tipo \cos(\text{inteiro}\cdot x) ou constantes). Esses termos integram-se facilmente, pois
\int \cos(px)\,dx=\frac{\sin(px)}{p}+C.
  • Em muitos casos dá para simplificar usando identidades específicas. Exemplo simples:
\int \operatorname{sen}^2x\cos^2x\,dx.
Usando \operatorname{sen}^2x\cos^2x=\frac14\sin^2(2x)=\frac{1}{8}\bigl(1-\cos 4x\bigr), temos
\int \operatorname{sen}^2x\cos^2x\,dx = \int \frac{1}{8}\,dx - \int\frac{1}{8}\cos 4x\,dx = \frac{x}{8} - \frac{\sin 4x}{32} + C.

Passo 6

Fórmula de recorrência (útil para integrais só com uma potência, por exemplo \int \operatorname{sen}^n x\,dx ou \int \cos^m x\,dx).
  • Para \int \operatorname{sen}^n x\,dx com n\ge2 inteiro, obtém-se (integrando por partes):
\int \operatorname{sen}^n x\,dx = -\frac{\operatorname{sen}^{n-1}x\cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \operatorname{sen}^{n-2}x\,dx + C.
  • Para \int \cos^m x\,dx existe análoga:
\int \cos^m x\,dx = \frac{\cos^{m-1}x\sin x}{m} + \frac{m-1}{m}\int \cos^{m-2}x\,dx + C.
Essas recorrências podem ser usadas quando se quer reduzir a potência aos poucos.

Passo 7

Dicas práticas para a hora da prova (resumindo, passo-a-passo que você aplica rápido):
  1. Verifique se n ou m é ímpar. Se sim, use o método da extração de um fator \sin x ou \cos x e substituição u=\cos x ou u=\sin x.
  2. Se ambos são pares, use as identidades de meia-ângulo e expanda; integre termo a termo.
  3. Se preferir reduzir potências gradualmente, use a fórmula de recorrência.
  4. Sempre que transformar a integral em um polinômio em u, integre termo a termo e volte com u=\sin x ou u=\cos x.
  5. Anote constantes de integração +C.

Passo 8

Recapitulando com as fórmulas-chave prontas para consultar rápido:
  • Se n=2k+1 (ímpar):
\int \operatorname{sen}^{n}x\cos^{m}x\,dx = -\int (1-\;u^2)^{k} u^{m}\,du\quad\text{com }u=\cos x.
  • Se m=2\ell+1 (ímpar):
\int \operatorname{sen}^{n}x\cos^{m}x\,dx = \int u^{n}(1-u^2)^{\ell}\,du\quad\text{com }u=\operatorname{sen}x.
  • Se n e m pares:
    use \operatorname{sen}^2x=\dfrac{1-\cos 2x}{2} e \cos^2x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}, expanda e integre cossenos de múltiplos de x.

Resposta

Se n=2k+1 (ímpar): \displaystyle \int \operatorname{sen}^{n}x\cos^{m}x\,dx = -\int (1-u^2)^{k}u^{m}\,du com u=\cos x.
Se m=2\ell+1 (ímpar): \displaystyle \int \operatorname{sen}^{n}x\cos^{m}x\,dx = \int u^{n}(1-u^2)^{\ell}\,du com u=\operatorname{sen}x.
Se n e m pares: usar \displaystyle \operatorname{sen}^2x=\frac{1-\cos 2x}{2},\\ \cos^2x=\frac{1+\cos 2x}{2}, expandir e integrar termo a termo.

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