Resolva:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
onde
e
são expoentes inteiros (presumimos inteiros não-negativos, que é o caso típico). Vou deixar bem claro o que se pede e quais informações temos:
- Pedido: encontrar uma forma de integrar
em termos de (ou em termos de funções trigonométricas). - Dados: somente a forma geral da integral com expoentes
e . - Observação importante (vai guiar a resolução): o método depende do paridade (ímpar/par) de
e . Não se resolve essa integral com uma única fórmula universal simples; usa-se um procedimento diferente conforme ou sejam ímpares ou pares.
Passo 2
Estratégia geral (resumo prático que vou justificar depois):
- Se
é ímpar, escrevo e uso . Substituo , porque . Isso transforma a integral em um polinômio em que é trivial de integrar. - Se
é ímpar, faço a mesma ideia trocando os papéis: extraio um fator , uso e substituo . - Se ambos
e são pares, uso identidades de meia-ângulo (power-reduction):
e expando; o integrando vira soma de cossenos de múltiplos de
, fáceis de integrar.
4. Existe também uma fórmula de recorrência útil para ou
, que eu mostro depois.
4. Existe também uma fórmula de recorrência útil para
Agora vamos desenvolver cada caso com detalhes e exemplos.
Passo 3
Caso A —
ímpar (ex.:
com
inteiro).
- Escrevo
- Substituo
, então o integrando fica
- Faço a substituição
. Então e . A integral passa a ser
- O integrando agora é um polinômio em
(expandindo ), portanto integra-se termo a termo com potências de . Depois volta-se a substituindo .
Exemplo concreto (passo a passo): calcular
.
- Aqui
, então . -
. - Com
, :
- Expandindo
:
- Simplificando coeficientes:
- Voltando a
com :
Passo 4
Caso B —
ímpar (ex.:
com
inteiro).
- A ideia é análoga: escrevo
e uso . - Faço a substituição
. Então e a integral vira um polinômio em :
que se integra termo a termo depois da expansão.
Exemplo rápido:
.
- Aqui
ímpar, então isolamos um : . - Com
, :
- Voltando:
Passo 5
Caso C —
e
ambos pares.
- Uso as identidades de meia-ângulo para reduzir as potências:
- Então
vira um produto de potências dessas expressões; ao expandir (binomialmente) obtém-se soma de termos do tipo multiplicados por constantes (ou seja, funções do tipo ou constantes). Esses termos integram-se facilmente, pois
- Em muitos casos dá para simplificar usando identidades específicas. Exemplo simples:
Usando
, temos
Passo 6
Fórmula de recorrência (útil para integrais só com uma potência, por exemplo
ou
).
- Para
com inteiro, obtém-se (integrando por partes):
- Para
existe análoga:
Essas recorrências podem ser usadas quando se quer reduzir a potência aos poucos.
Passo 7
Dicas práticas para a hora da prova (resumindo, passo-a-passo que você aplica rápido):
- Verifique se
ou é ímpar. Se sim, use o método da extração de um fator ou e substituição ou . - Se ambos são pares, use as identidades de meia-ângulo e expanda; integre termo a termo.
- Se preferir reduzir potências gradualmente, use a fórmula de recorrência.
- Sempre que transformar a integral em um polinômio em
, integre termo a termo e volte com ou . - Anote constantes de integração
.
Passo 8
Recapitulando com as fórmulas-chave prontas para consultar rápido:
- Se
(ímpar):
- Se
(ímpar):
- Se
e pares:
usee , expanda e integre cossenos de múltiplos de .
Resposta
Se
(ímpar):
com
.
Se (ímpar):
com
.
Se e
pares: usar
, expandir e integrar termo a termo.
Se
Se