Resolva:
Passo 1
O enunciado nos dá a expressão
e pede calcular o valor desta expressão quando
tende a
(ou seja, o limite
da expressão). Informações dadas:
- O numerador é a integral de
com limite inferior e superior . - O denominador é
.
A primeira observação útil: avaliando emo numerador dá e o denominador é . Assim temos uma forma indeterminada , então é preciso aplicar alguma técnica (por exemplo L’Hôpital ou o Teorema do Valor Médio para integrais).
Passo 2
Vou usar uma ferramenta básica que é o Teorema Fundamental do Cálculo (parte que liga derivada e integral). Antes disso, verifico que a função do integrando é contínua em torno de
:
é composta de funções contínuas, logo contínua. O Teorema Fundamental do Cálculo (versão usada) diz o seguinte:
se e
é contínua, então
é diferenciável e
se
Aqui podemos identificar
, portanto
Passo 3
Como a expressão de interesse tem forma indeterminada
quando
, uma opção natural é aplicar a Regra de L’Hôpital. A Regra de L’Hôpital (caso
) diz que, se
tem forma
, e
existem num vizinhança de
(exceto possivelmente em
) e
existe, então
No nosso caso,
e
. Já vimos que
e
. As derivadas são:
Passo 4
Aplicando L’Hôpital:
Agora avalio o limite substituindo
:
E
. Portanto o limite é
.
Passo 5
Vou dar também uma explicação alternativa e intuitiva (muito útil na prova): o Teorema do Valor Médio para integrais diz que, se
é contínua em
(ou em
se
), existe
entre
e
tal que
Aplicando com
, obtemos
com
quando
. Fazendo
dá
. Esta via é às vezes mais direta e evita derivadas explícitas.
Passo 6
Resumo rápido e incentivo: tanto por L’Hôpital (usando o Teorema Fundamental do Cálculo) quanto pelo Teorema do Valor Médio para integrais chega-se ao mesmo resultado. Se ficar nervoso na prova, lembre: uma integral com limite variável se comporta, para
perto de
, como o valor do integrando em
vezes
. Aqui esse valor é
, por isso o quociente tende a
. Força — já era caminho certo!