Resolva:
\frac{\int_{1}^{x} \operatorname{sen}\left(\pi t^{2}\right) d t}{x-1}

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão
\frac{\int_{1}^{x} \operatorname{sen}\!\big(\pi t^{2}\big)\,dt}{x-1}
e pede calcular o valor desta expressão quando x tende a 1 (ou seja, o limite \displaystyle\lim_{x\to1} da expressão). Informações dadas:
  • O numerador é a integral de \operatorname{sen}\!\big(\pi t^{2}\big) com limite inferior 1 e superior x.
  • O denominador é x-1.
    A primeira observação útil: avaliando em x=1 o numerador dá \int_{1}^{1}\cdots=0 e o denominador é 0. Assim temos uma forma indeterminada 0/0, então é preciso aplicar alguma técnica (por exemplo L’Hôpital ou o Teorema do Valor Médio para integrais).

Passo 2

Vou usar uma ferramenta básica que é o Teorema Fundamental do Cálculo (parte que liga derivada e integral). Antes disso, verifico que a função do integrando é contínua em torno de t=1: \operatorname{sen}\!\big(\pi t^{2}\big) é composta de funções contínuas, logo contínua. O Teorema Fundamental do Cálculo (versão usada) diz o seguinte:
se F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt e f é contínua, então F é diferenciável e
F'(x)=f(x).
Aqui podemos identificar F(x)=\int_{1}^{x}\operatorname{sen}\!\big(\pi t^{2}\big)\,dt, portanto
\frac{d}{dx}\Big(\int_{1}^{x}\operatorname{sen}\!\big(\pi t^{2}\big)\,dt\Big)=\operatorname{sen}\!\big(\pi x^{2}\big).

Passo 3

Como a expressão de interesse tem forma indeterminada 0/0 quando x\to1, uma opção natural é aplicar a Regra de L’Hôpital. A Regra de L’Hôpital (caso 0/0) diz que, se \lim_{x\to a} \frac{u(x)}{v(x)} tem forma 0/0, e u',v' existem num vizinhança de a (exceto possivelmente em a) e \lim_{x\to a}\frac{u'(x)}{v'(x)} existe, então
\lim_{x\to a}\frac{u(x)}{v(x)}=\lim_{x\to a}\frac{u'(x)}{v'(x)}.
No nosso caso, u(x)=\int_{1}^{x}\operatorname{sen}\!\big(\pi t^{2}\big)\,dt e v(x)=x-1. Já vimos que u(1)=0 e v(1)=0. As derivadas são:
u'(x)=\operatorname{sen}\!\big(\pi x^{2}\big),\qquad v'(x)=1.

Passo 4

Aplicando L’Hôpital:
\lim_{x\to1}\frac{\int_{1}^{x}\operatorname{sen}\!\big(\pi t^{2}\big)\,dt}{x-1} =\lim_{x\to1}\frac{u'(x)}{v'(x)} =\lim_{x\to1}\operatorname{sen}\!\big(\pi x^{2}\big).
Agora avalio o limite substituindo x=1:
\lim_{x\to1}\operatorname{sen}\!\big(\pi x^{2}\big)=\operatorname{sen}\!\big(\pi\cdot1^{2}\big)=\operatorname{sen}\!\big(\pi\big).
E \operatorname{sen}\!\big(\pi\big)=0. Portanto o limite é 0.

Passo 5

Vou dar também uma explicação alternativa e intuitiva (muito útil na prova): o Teorema do Valor Médio para integrais diz que, se f é contínua em [1,x] (ou em [x,1] se x<1), existe c entre 1 e x tal que
\int_{1}^{x} f(t)\,dt = f\text{(c)}\,(x-1).
Aplicando com f(t)=\operatorname{sen}\!\big(\pi t^{2}\big), obtemos
\frac{\int_{1}^{x}\operatorname{sen}\!\big(\pi t^{2}\big)\,dt}{x-1} = \operatorname{sen}\!\big(\pi c^{2}\big),
com c\to1 quando x\to1. Fazendo x\to1 \operatorname{sen}\!\big(\pi\cdot1^{2}\big)=\operatorname{sen}\!\big(\pi\big)=0. Esta via é às vezes mais direta e evita derivadas explícitas.

Passo 6

Resumo rápido e incentivo: tanto por L’Hôpital (usando o Teorema Fundamental do Cálculo) quanto pelo Teorema do Valor Médio para integrais chega-se ao mesmo resultado. Se ficar nervoso na prova, lembre: uma integral com limite variável se comporta, para x perto de 1, como o valor do integrando em 1 vezes (x-1). Aqui esse valor é \operatorname{sen}(\pi)=0, por isso o quociente tende a 0. Força — já era caminho certo!

Resposta

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