1. \int_{-2}^{-1}\left(\frac{1}{x^{2}}+x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{-2}^{-1}\biggl(\frac{1}{x^{2}} + x\biggr)\,dx.
O conteúdo envolvido é a linearidade da integral e a regra de potência para encontrar primitivas de x^{-2} e de x.

Passo 2

Pela linearidade,
\int\bigl(x^{-2}+x\bigr)\,dx = \int x^{-2}\,dx + \int x\,dx.
Usando a regra de potência, para n\neq -1 vale
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Logo,
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}, \quad \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.

Passo 3

Uma primitiva é
F(x) = -\frac{1}{x} + \frac{x^{2}}{2}.
Agora avaliamos nos limites x=-2 e x=-1:
F(-1) = -\frac{1}{-1} + \frac{(-1)^{2}}{2} = 1 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2},
F(-2) = -\frac{1}{-2} + \frac{(-2)^{2}}{2} = \tfrac{1}{2} + 2 = \tfrac{5}{2}.

Passo 4

A integral definida vale
F(-1) - F(-2) = \frac{3}{2} - \frac{5}{2} = -1.

Resposta

-1

Exercícios relacionados