(9.) \int_{0}^{2}\left(x^{2}+3 x-3\right) d x
10. \int_{0}^{1}\left(5 x^{3}-\frac{1}{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais definidas de polinômios usando o Teorema Fundamental do Cálculo. A ideia é achar uma antiderivada F de f (isto é, F'=f) e então usar
\int_{a}^{b}f(x)\,dx = F(b) - F(a).

Passo 2

Para a integral \displaystyle \int_{0}^{2}\bigl(x^{2}+3x-3\bigr)\,dx
vamos encontrar uma antiderivada F(x). Aumentamos cada expoente em 1 e dividimos pelo novo expoente:
F(x) = \int\bigl(x^{2}+3x-3\bigr)\,dx = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3x^{2}}{2} - 3x + C.

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{0}^{2}\bigl(x^{2}+3x-3\bigr)\,dx = F(2) - F(0).
Calculando
F(2) = \frac{2^{3}}{3} + \frac{3\cdot2^{2}}{2} - 3\cdot2 = \frac{8}{3} + \frac{12}{2} - 6 = \frac{8}{3} + 6 - 6 = \frac{8}{3},
e F(0)=0. Logo a primeira integral vale \tfrac{8}{3}.

Passo 4

Para a segunda integral \displaystyle \int_{0}^{1}\bigl(5x^{3}-\tfrac12\bigr)\,dx
encontramos antiderivada G(x):
G(x) = \int\bigl(5x^{3}-\tfrac12\bigr)\,dx = 5\cdot\frac{x^{4}}{4} - \frac{x}{2} + C = \frac{5x^{4}}{4} - \frac{x}{2} + C.

Passo 5

Aplicando os limites:
\int_{0}^{1}\bigl(5x^{3}-\tfrac12\bigr)\,dx = G(1) - G(0).
Temos
G(1) = \frac{5\cdot1^{4}}{4} - \frac{1}{2} = \frac{5}{4} - \frac{2}{4} = \frac{3}{4},
e G(0)=0. Assim a segunda integral vale \tfrac{3}{4}.

Resposta

(9) \displaystyle \frac{8}{3}
(10) \displaystyle \frac{3}{4}

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