\int_{0}^{1}\left(x^{2}+1\right) e^{-x} d x

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral definida
\int_{0}^{1}\bigl(x^{2}+1\bigr)e^{-x}\,dx.
O conteúdo necessário é encontrar uma primitiva de (x^{2}+1)e^{-x} usando integração por partes e depois aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Para achar
\int (x^{2}+1)e^{-x}\,dx
vamos usar duas vezes integração por partes. Primeiro, defina
u = x^{2}+1 e dv = e^{-x}\,dx. Então
\,du = 2x\,dx e v = -e^{-x}. Assim,
\int (x^{2}+1)e^{-x}\,dx = -(x^{2}+1)e^{-x} + \int 2x\,e^{-x}\,dx.
Agora, para \displaystyle \int 2x\,e^{-x}\,dx, escolha
u = 2x e dv = e^{-x}\,dx. Logo
\,du = 2\,dx e v = -e^{-x}, e obtemos
\int 2x\,e^{-x}\,dx = -2x\,e^{-x} + \int 2\,e^{-x}\,dx = -2x\,e^{-x} - 2e^{-x} + C.
Somando tudo, uma primitiva geral é
\int (x^{2}+1)e^{-x}\,dx = -(x^{2}+1)e^{-x} +\bigl(-2x\,e^{-x}-2e^{-x}\bigr) + C = -(x^{2}+2x+3)e^{-x} + C.

Passo 3

Aplicando o Teorema Fundamental, seja
F(x) = -(x^{2}+2x+3)e^{-x}.
Então
F(1) = -(1+2+3)e^{-1} = -6e^{-1}, \quad F(0) = -(0+0+3)e^{0} = -3.
Logo
\int_{0}^{1}(x^{2}+1)e^{-x}\,dx = F(1) - F(0) = -6e^{-1} - (-3) = 3 - 6e^{-1}.

Resposta

3 - 6e^{-1}

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