Questão. Determine os valores extremos (máximo e mínimo) da função
f(x, y)=x^{2}-y^{2}
com restrição no círculo
x^{2}+y^{2}=4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos de
f(x,y)=x^{2}-y^{2}
sob a restrição
g(x,y)=x^{2}+y^{2}-4=0.
O conteúdo é otimização com restrição, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Formamos a Lagrangiana
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=x^{2}-y^{2}-\lambda\,(x^{2}+y^{2}-4).
As condições de ótimo são
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=2x-2\lambda x=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=-2y-2\lambda y=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}=-(x^{2}+y^{2}-4)=0.

Passo 3

Das duas primeiras equações:
  1. 2x(1-\lambda)=0 x=0 ou \lambda=1.
  2. -2y(1+\lambda)=0 y=0 ou \lambda=-1.
    Combinando e usando x^{2}+y^{2}=4:
  • Se \lambda=1, então y=0 e x^{2}=4, logo x=\pm2.
  • Se \lambda=-1, então x=0 e y^{2}=4, logo y=\pm2.
    Os pontos críticos são (2,0), (-2,0), (0,2) e (0,-2).

Passo 4

Avaliamo-los em f:
f(\pm2,0)=(\pm2)^{2}-0^{2}=4,
f(0,\pm2)=0^{2}-(\pm2)^{2}=-4.

Resposta

O valor máximo de f é 4, nos pontos (2,0) e (-2,0), e o valor mínimo de f é -4, nos pontos (0,2) e (0,-2).

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