\int \operatorname{cosec} u \operatorname{cotg} u d u=-\operatorname{cosec} u+c

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \operatorname{cosec}u\,\operatorname{cotg}u \,du.
O conteúdo é integração de funções trigonométricas; vamos usar a relação entre derivadas e integrais (regra inversa da derivação).

Passo 2

Recordamos a derivada da função \operatorname{cosec}u:
\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{cosec}u\bigr) = -\operatorname{cosec}u\,\operatorname{cotg}u.
Isso mostra que
\operatorname{cosec}u\,\operatorname{cotg}u = -\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{cosec}u\bigr).

Passo 3

Substituindo no integral, obtemos
\int \operatorname{cosec}u\,\operatorname{cotg}u \,du = -\int \frac{d}{du}\bigl(\operatorname{cosec}u\bigr)\,du.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral de uma derivada é a própria função, logo
-\int \frac{d}{du}\bigl(\operatorname{cosec}u\bigr)\,du = -\,\operatorname{cosec}u + C.

Resposta

-\operatorname{cosec}u + C

Exercícios relacionados