5 Uma empresa tomou um empréstimo bancário de R$500.000,00 para pagamento em 3 parcelas anuais, sendo a 1a daqui a 1 ano. O banco combinou cobrar juros compostos a uma taxa de 20 \%ao ano. Sabendo-se que a 1 a parcela foi de R$ 180.000,00 e a 2^{\underline{a}} de R$ 200.000,00, qual será o valor da 3 ạ?

Passo 1

O enunciado diz que uma empresa tomou um empréstimo de \text{R\$}\,500000 a ser pago em três parcelas anuais, com juros compostos de 20\% ao ano, sendo a primeira em um ano \text{R\$}\,180000 e a segunda em dois anos \text{R\$}\,200000. Precisamos usar o conceito de valor acumulado no regime de juros compostos para encontrar a terceira parcela, que vence em três anos.

Passo 2

Vamos comparar o valor acumulado do empréstimo no final do terceiro ano com a soma dos valores acumulados de cada parcela até esse mesmo instante. No regime de juros compostos, o capital inicial L acumulado em n anos a uma taxa i é dado por
L\,(1+i)^{n}.
Aqui L=500000, i=0,20 e n=3, logo o valor da dívida no final do terceiro ano é
500000\cdot(1,20)^{3}.

Passo 3

Cada parcela paga é também acumulada até o final do terceiro ano. A primeira parcela de \text{R\$}\,180000 paga em t=1 anos acumula por mais 2 anos, rendendo um fator (1,20)^{2}. A segunda de \text{R\$}\,200000 paga em t=2 acumula por mais 1 ano, rendendo um fator (1,20)^{1}. A terceira parcela X é paga em t=3 e não se acumula. Assim, a equivalência no final do terceiro ano é
500000\cdot(1,20)^{3} \;=\; 180000\cdot(1,20)^{2} \;+\; 200000\cdot(1,20) \;+\; X.

Passo 4

Calculando os fatores: (1,20)^{2}=1,44, (1,20)^{3}=1,728.
Substituindo:
500000\cdot1,728 = 180000\cdot1,44 + 200000\cdot1,20 + X.
Isso dá
864000 = 259200 + 240000 + X
portanto
X = 864000 - 259200 - 240000 = 364800.

Resposta

O valor da terceira parcela é \text{R\$}\,364800{,}00.

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