\int \operatorname{sec} u d u=\ln |\operatorname{sec} u+\operatorname{tg} u|+c
Passo 1
O enunciado pede para calcular
\int \operatorname{sec} u \,du
O conteúdo envolvido é integração de funções trigonométricas, usando um truque de multiplicar por um fator adequado para reconhecer uma derivada no numerador.
Passo 2
Multiplicamos o integrando por \frac{\operatorname{sec} u + \tan u}{\operatorname{sec} u + \tan u}, que vale 1, para obter um numerador que seja a derivada de \operatorname{sec} u + \tan u:
\int \operatorname{sec} u \,du = \int \frac{\operatorname{sec} u(\operatorname{sec} u + \tan u)}{\operatorname{sec} u + \tan u}\,du.
Passo 3
Calculamos a derivada de \operatorname{sec} u + \tan u:
\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{sec} u + \tan u\bigr) = \operatorname{sec} u\tan u + \operatorname{sec}^2 u = \operatorname{sec} u\,(\operatorname{sec} u + \tan u).
Logo, o numerador do integrando é exatamente \bigl(\operatorname{sec} u + \tan u\bigr)'.
Passo 4
Substituindo na integral, fica
\int \frac{\bigl(\operatorname{sec} u + \tan u\bigr)'}{\operatorname{sec} u + \tan u}\,du =\ln\bigl|\operatorname{sec} u + \tan u\bigr| + C,
pois \int f'(u)/f(u)\,du=\ln|f(u)|+C.
Resposta
\int \operatorname{sec} u \,du = \ln\bigl|\operatorname{sec} u + \tan u\bigr| + C.