Resolva por série de potência:
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede para resolver
por série de potências. Note que
é um ponto singular irregular, então não existe série em potências positivas de
não-trivial. Em vez disso, buscamos uma expansão em potências decrescentes, válida para
grande:
Passo 2
Calculemos as derivadas term-a-termo:
Passo 3
Substituindo em
(que é a forma dividida por
) e multiplicando tudo por
, obtemos
Juntando os dois primeiros somatórios nota-se que
, e reindexando o último para o mesmo
, ficamos com
Passo 4
Para cada
a condição de anulação dos coeficientes dá a recorrência
Passo 5
Resolve-se facilmente por indução:
Logo uma solução em série é
Passo 6
Essa série reconhece-se como
A segunda solução independente envolve a função de Bessel
, que apresenta termo logarítmico. Portanto a solução geral é
Resposta
sendo a série explicitada a expansão de
.