Resolva por série de potência:
b) x^{3} y^{\prime \prime}+x^{2} y^{\prime}+y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver
x^{3}y''+x^{2}y'+y=0
por série de potências. Note que x=0 é um ponto singular irregular, então não existe série em potências positivas de x não-trivial. Em vez disso, buscamos uma expansão em potências decrescentes, válida para |x| grande:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}\,x^{-n}.

Passo 2

Calculemos as derivadas term-a-termo:
y'=\sum_{n=0}^{\infty}(-n)\,c_{n}\,x^{-n-1}, \quad y''=\sum_{n=0}^{\infty}n(n+1)\,c_{n}\,x^{-n-2}.

Passo 3

Substituindo em
y''+\frac{1}{x}y'+\frac{1}{x^{3}}y=0
(que é a forma dividida por x^{3}) e multiplicando tudo por x^{2}, obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}n(n+1)c_{n}\,x^{-n} \;+\;\sum_{n=0}^{\infty}(-n)c_{n}\,x^{-n} \;+\;\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}\,x^{-n-1} =0.
Juntando os dois primeiros somatórios nota-se que n(n+1)-n=n^{2}, e reindexando o último para o mesmo x^{-n}, ficamos com
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(n^{2}c_{n}+c_{n-1}\bigr)x^{-n}=0.

Passo 4

Para cada n\ge1 a condição de anulação dos coeficientes dá a recorrência
n^{2}c_{n}+c_{n-1}=0 \quad\Longrightarrow\quad c_{n}=-\frac{c_{n-1}}{n^{2}}.

Passo 5

Resolve-se facilmente por indução:
c_{n} =\;(-1)^{n}\,\frac{c_{0}}{(1^{2}\,2^{2}\cdots n^{2})} =\;(-1)^{n}\,\frac{c_{0}}{(n!)^{2}}.
Logo uma solução em série é
y_{1}(x) =c_{0}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(n!)^{2}}\,x^{-n}.

Passo 6

Essa série reconhece-se como
J_{0}\Bigl(2\,x^{-1/2}\Bigr) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(n!)^{2}}\,x^{-n}.
A segunda solução independente envolve a função de Bessel Y_{0}(2x^{-1/2}), que apresenta termo logarítmico. Portanto a solução geral é
y(x) =C_{1}\,J_{0}\bigl(2\,x^{-\tfrac12}\bigr) \;+\; C_{2}\,Y_{0}\bigl(2\,x^{-\tfrac12}\bigr).

Resposta

\boxed{ y(x) =C_{1}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(n!)^{2}}\,x^{-n} \;+\; C_{2}\,Y_{0}\bigl(2\,x^{-\tfrac12}\bigr), }
sendo a série explicitada a expansão de J_{0}(2x^{-1/2}).

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