Resolva as EDOs abaixo.
\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right) d x+\left(y e^{y}+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\Bigl(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\Bigr)\,dx +\Bigl(y e^{y}+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\Bigr)\,dy=0
e pede a solução geral. Vamos reconhecer que é uma equação da forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 e verificar se ela é exata. Em caso afirmativo, construiremos uma função potencial \Psi(x,y) tal que \Psi_x=M e \Psi_y=N.

Passo 2

Computar as derivadas parciais para testar exatidão:
M(x,y)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}, \quad N(x,y)=y e^{y}+\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Derivando em relação a y:
\frac{\partial M}{\partial y} =-\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\Bigr) =-\frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Derivando N em relação a x:
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\Bigr) =-\frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Construímos \Psi(x,y) integrando M em relação a x, tratando y como constante:
\Psi(x,y) =\int\Bigl(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\Bigr)\,dx =\ln|x|-\frac{1}{x} -\int\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\,dx +H(y).
Para \displaystyle\int\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\,dx, note que, com u=\frac{x}{y}, temos
\frac{d}{dx}\bigl(\arctan(u)\bigr) =\frac{1}{1+u^{2}}\cdot\frac{du}{dx} =\frac{1}{1+(x/y)^{2}}\cdot\frac{1}{y} =\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.
Logo
\int\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\,dx =\arctan\frac{x}{y},
e portanto
\Psi(x,y)=\ln|x|-\frac{1}{x}-\arctan\frac{x}{y}+H(y).

Passo 4

Agora impomos \Psi_{y}=N. Calculamos
\frac{\partial\Psi}{\partial y} =\frac{d}{dy}\Bigl(-\arctan\frac{x}{y}\Bigr)+H'(y) =\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+H'(y).
Como isso deve ser igual a
N=y e^{y}+\frac{x}{x^{2}+y^{2}},
seguem-se
\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+H'(y) =y e^{y}+\frac{x}{x^{2}+y^{2}} \quad\Longrightarrow\quad H'(y)=y e^{y}.
Integrando em y:
H(y)=\int y e^{y}\,dy =y e^{y}-e^{y}.

Passo 5

Substituindo H(y) em \Psi, obtemos a função potencial completa
\Psi(x,y) =\ln|x|-\frac{1}{x}-\arctan\frac{x}{y} +\bigl(y e^{y}-e^{y}\bigr).
A solução geral da equação diferencial exata é
\Psi(x,y)=C,
com C constante arbitrária.

Resposta

\ln|x|-\frac{1}{x}-\arctan\frac{x}{y} +y e^{y}-e^{y}=C.

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