Resolva as EDOs abaixo.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede a solução geral. Vamos reconhecer que é uma equação da forma
e verificar se ela é exata. Em caso afirmativo, construiremos uma função potencial
tal que
e
.
Passo 2
Computar as derivadas parciais para testar exatidão:
Derivando em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Construímos
integrando
em relação a
, tratando
como constante:
Para
, note que, com
, temos
Logo
e portanto
Passo 4
Agora impomos
. Calculamos
Como isso deve ser igual a
seguem-se
Integrando em
:
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos a função potencial completa
A solução geral da equação diferencial exata é
com
constante arbitrária.