Questão 1:(6 pts, 2 cada item) Encontre a derivada da função y^{\prime} e/ou f^{\prime}(x).
f(x)=\ln \left(e^{-x}+x e^{-x}\right).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\ln\bigl(e^{-x}+x\,e^{-x}\bigr).
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia para logaritmo (se f(x)=\ln(u(x)) então f'(x)=u'(x)/u(x)) e também a regra do produto e a derivada de e^{-x}.

Passo 2

Dentro do logaritmo podemos fatorar e^{-x}:
e^{-x}+x\,e^{-x}=e^{-x}(1+x).
Logo
f(x)=\ln\bigl(e^{-x}(1+x)\bigr) =\ln\bigl(e^{-x}\bigr)+\ln(1+x) =-x+\ln(1+x).

Passo 3

Agora derivamos termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(-x\bigr)=-1, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(\ln(1+x)\bigr)=\frac{1}{1+x}.
Portanto
f'(x)=-1+\frac{1}{1+x} =\frac{-\,(1+x)+1}{1+x} =\frac{-x}{1+x}.

Resposta

f'(x)=\frac{-x}{1+x}.

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