Questão 1:(6 pts, 2 cada item) Encontre a derivada da função y^{\prime} e/ou f^{\prime}(x).
y=\sqrt{1+\operatorname{sen}(2 x \sqrt{x})},

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y=\sqrt{1+\operatorname{sen}\bigl(2x\sqrt{x}\bigr)},
portanto vamos usar a regra da cadeia para funções compostas e a regra do produto para derivar 2x\sqrt{x}.

Passo 2

Definimos
u(x)=1+\operatorname{sen}\bigl(v(x)\bigr), \quad v(x)=2x\sqrt{x}, \quad y=\sqrt{u(x)}=u(x)^{1/2}.
Pela regra da cadeia para y=u^{1/2} temos
y'=\frac{1}{2}u(x)^{-1/2}\,u'(x) =\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}.
E para u(x)=1+\operatorname{sen}(v(x)) vale
u'(x)=\cos\bigl(v(x)\bigr)\,v'(x).

Passo 3

Agora calculamos v'(x). Como
v(x)=2x\sqrt{x}=2x\,x^{1/2},
aplicamos a regra do produto:
v'(x) =2\bigl[x'\,x^{1/2}+x\,(x^{1/2})'\bigr] =2\Bigl[\sqrt{x}+x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}\Bigr] =2\cdot\frac{3}{2}\sqrt{x} =3\sqrt{x}.

Passo 4

Substituindo em y'=\dfrac{\cos(v(x))\,v'(x)}{2\sqrt{u(x)}} obtemos
y' =\frac{\cos\!\bigl(2x\sqrt{x}\bigr)\,\bigl(3\sqrt{x}\bigr)}{2\sqrt{\,1+\operatorname{sen}(2x\sqrt{x})\,}}.

Resposta

y' =\frac{3\sqrt{x}\,\cos\bigl(2x\sqrt{x}\bigr)}{2\sqrt{1+\operatorname{sen}(2x\sqrt{x})}}.

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