- Monte integrais triplas para o volume da esfera
em coordenadas (a) esféricas, (b) cilíndricas e (c) retangulares.
Passo 1
O enunciado pede para montarmos as integrais triplas que representam o volume da esfera de raio 2, ou seja, da região
Vamos usar três sistemas de coordenadas distintos e o respectivo jacobiano de cada mudança de variável: esféricas, cilíndricas e retangulares (cartesianas).
Passo 2
Em coordenadas esféricas usamos as variáveis
(distância à origem),
(ângulo polar, medido a partir do eixo
) e
(ângulo azimutal, no plano
). A mudança de variável tem jacobiano
Na esfera de raio 2 temos
variando de
a
,
de
a
e
de
a
. Então a integral para o volume fica
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas usamos
(distância ao eixo
),
(mesmo ângulo azimutal) e
. O jacobiano é
A esfera é descrita por
, isto é, para cada
temos
e
. Logo o volume é
Passo 4
Em coordenadas cartesianas
o volume é dado diretamente por
onde
é
. Podemos descrever isso como
Assim a integral fica
Resposta
(a)
(b)
(c)