1. Monte integrais triplas para o volume da esfera \rho=2 em coordenadas (a) esféricas, (b) cilíndricas e (c) retangulares.

Passo 1

O enunciado pede para montarmos as integrais triplas que representam o volume da esfera de raio 2, ou seja, da região
V = \{(x,y,z)\mid x^2 + y^2 + z^2 \le 4\}.
Vamos usar três sistemas de coordenadas distintos e o respectivo jacobiano de cada mudança de variável: esféricas, cilíndricas e retangulares (cartesianas).

Passo 2

Em coordenadas esféricas usamos as variáveis \rho (distância à origem), \varphi (ângulo polar, medido a partir do eixo z) e \theta (ângulo azimutal, no plano xy). A mudança de variável tem jacobiano
J(\rho,\varphi,\theta)=\rho^2\sin\varphi.
Na esfera de raio 2 temos \rho variando de 0 a 2, \varphi de 0 a \pi e \theta de 0 a 2\pi. Então a integral para o volume fica
\int_{\rho=0}^{2}\!\int_{\varphi=0}^{\pi}\!\int_{\theta=0}^{2\pi} \rho^{2}\sin\varphi\;d\theta\,d\varphi\,d\rho.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas usamos r (distância ao eixo z), \theta (mesmo ângulo azimutal) e z. O jacobiano é
J(r,\theta,z)=r.
A esfera é descrita por r^2 + z^2 \le 4, isto é, para cada z\in[-2,2] temos r\in[0,\sqrt{4 - z^2}] e \theta\in[0,2\pi]. Logo o volume é
\int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{z=-2}^{2}\!\int_{r=0}^{\sqrt{4 - z^2}} r\;dr\,dz\,d\theta.

Passo 4

Em coordenadas cartesianas (x,y,z) o volume é dado diretamente por
\int\!\!\int\!\!\int_{V}1\;dx\,dy\,dz,
onde V é \{(x,y,z)\mid x^2 + y^2 + z^2 \le 4\}. Podemos descrever isso como
x\in[-2,2],\quad y\in\bigl[-\sqrt{4 - x^2},\,\sqrt{4 - x^2}\bigr],\quad z\in\bigl[-\sqrt{4 - x^2 - y^2},\,\sqrt{4 - x^2 - y^2}\bigr].
Assim a integral fica
\int_{x=-2}^{2} \int_{y=-\sqrt{4 - x^2}}^{\sqrt{4 - x^2}} \int_{z=-\sqrt{4 - x^2 - y^2}}^{\sqrt{4 - x^2 - y^2}} 1\;dz\,dy\,dx.

Resposta

(a)
\int_{\rho=0}^{2}\!\int_{\varphi=0}^{\pi}\!\int_{\theta=0}^{2\pi} \rho^{2}\sin\varphi\;d\theta\,d\varphi\,d\rho.
(b)
\int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{z=-2}^{2}\!\int_{r=0}^{\sqrt{4 - z^2}} r\;dr\,dz\,d\theta.
(c)
\int_{x=-2}^{2} \int_{y=-\sqrt{4 - x^2}}^{\sqrt{4 - x^2}} \int_{z=-\sqrt{4 - x^2 - y^2}}^{\sqrt{4 - x^2 - y^2}} 1\;dz\,dy\,dx.

Exercícios relacionados