1. \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\theta / 2 \pi} \int_{0}^{3+24 r^{2}} d z r d r d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
I = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\theta/(2\pi)} \int_{0}^{3+24r^{2}} dz \; r\,dr\,d\theta.
Aqui o procedimento é fazer a integração iterada na ordem dada: primeiro em z, depois em r e por fim em \theta.

Passo 2

Integramos em z mantendo r e \theta fixos:
\int_{0}^{3+24r^{2}} dz = 3 + 24r^{2}.
Logo a integral vira
I = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\theta/(2\pi)} \bigl(3 + 24r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Agora fazemos a integração em r:
\int_{0}^{\theta/(2\pi)} \bigl(3r + 24r^{3}\bigr)\,dr = \left[\frac{3}{2}r^{2} + 6\,r^{4}\right]_{0}^{\theta/(2\pi)} = \frac{3}{2}\Bigl(\frac{\theta}{2\pi}\Bigr)^{2} + 6\Bigl(\frac{\theta}{2\pi}\Bigr)^{4}.
Então
I = \int_{0}^{2\pi} \Bigl(\frac{3}{2}\frac{\theta^{2}}{(2\pi)^{2}} + 6\frac{\theta^{4}}{(2\pi)^{4}}\Bigr)\,d\theta.

Passo 4

Por fim, integramos em \theta. Denotando a = 2\pi, temos
\int_{0}^{a} \frac{3}{2a^{2}}\,\theta^{2}\,d\theta = \frac{3}{2a^{2}}\cdot\frac{a^{3}}{3} = \frac{a}{2},
\int_{0}^{a} \frac{6}{a^{4}}\,\theta^{4}\,d\theta = \frac{6}{a^{4}}\cdot\frac{a^{5}}{5} = \frac{6a}{5}.
Somando,
I = \frac{a}{2} + \frac{6a}{5} = 2\pi\Bigl(\tfrac12 + \tfrac{6}{5}\Bigr) = 2\pi\cdot\frac{17}{10} = \frac{17\pi}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{17\pi}{5}

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