(3, 0 pontos) Considere a região
limitada pelas funções
e
.
(a) Faça um esboço da região
.
(b) Calcule a área da região
.
(c) Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo x.
(a) Faça um esboço da região
(b) Calcule a área da região
(c) Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a região
limitada pela reta
e pela parábola
Para resolver, vamos primeiro achar os pontos de interseção dessas curvas (para desenhar e determinar os limites de integração), depois calcular a área usando integração de
e, por fim, obter o volume de revolução em torno do eixo
pelo método dos discos (ou anéis).
Passo 2
Para achar as interseções, igualamos
Logo
ou
. Substituindo em
dá os pontos
e
.
Esboço da região : é o conjunto de pontos entre a parábola, que abre para cima com vértice em
, e a reta decrescente, que cruza o eixo
em
. Essas curvas se cruzam em
e
, e
fica “entre” elas de
a
.
Esboço da região
Passo 3
A área de
é
Em notação de antiderivada:
Avaliando de
a
:
Portanto,
Passo 4
Para o volume por rotação em torno do eixo
, usamos discos com furo (método dos anéis):
Expandindo,
Avaliando de
a
dá
Resposta
(a) Esboço: a região entre a parábola
(vértice em
) e a reta
, entre os pontos de interseção
e
.
(b)
(c)
(b)
(c)