(3, 0 pontos) Considere a região A limitada pelas funções y=-x+3 e y=x^{2}+1.
(a) Faça um esboço da região A.
(b) Calcule a área da região A.
(c) Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região A em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a região A limitada pela reta
y = -x + 3
e pela parábola
y = x^2 + 1.
Para resolver, vamos primeiro achar os pontos de interseção dessas curvas (para desenhar e determinar os limites de integração), depois calcular a área usando integração de \bigl(\text{acima}\;-\;\text{abaixo}\bigr) e, por fim, obter o volume de revolução em torno do eixo x pelo método dos discos (ou anéis).

Passo 2

Para achar as interseções, igualamos
-x + 3 = x^2 + 1
\implies x^2 + x - 2 = 0
\implies (x+2)(x-1)=0
Logo x=-2 ou x=1. Substituindo em y=-x+3 dá os pontos (-2,5) e (1,2).
Esboço da região A: é o conjunto de pontos entre a parábola, que abre para cima com vértice em (0,1), e a reta decrescente, que cruza o eixo y em (0,3). Essas curvas se cruzam em (-2,5) e (1,2), e A fica “entre” elas de x=-2 a x=1.

Passo 3

A área de A é
\int_{x=-2}^{1}\bigl[(-x+3)-\bigl(x^2+1\bigr)\bigr]\,dx =\int_{-2}^{1}\bigl(-x^2 -x +2\bigr)\,dx.
Em notação de antiderivada:
\int\bigl(-x^2 -x +2\bigr)\,dx =-\tfrac{1}{3}x^3 -\tfrac12x^2 +2x.
Avaliando de -2 a 1:
\Bigl[-\tfrac{1}{3}x^3 -\tfrac12x^2 +2x\Bigr]_{-2}^{1} =\Bigl(-\tfrac{1}{3}-\tfrac12+2\Bigr) -\Bigl(\tfrac{32}{-5?}\Bigr) = \tfrac{9}{2}.
Portanto, \mathrm{Área}(A)=\tfrac{9}{2}.Á

Passo 4

Para o volume por rotação em torno do eixo x, usamos discos com furo (método dos anéis):
V = \pi\int_{-2}^{1}\Bigl[\bigl(-x+3\bigr)^{2}-\bigl(x^2+1\bigr)^{2}\Bigr]\,dx.
Expandindo,
(-x+3)^2 = x^2 -6x +9,\quad (x^2+1)^2 = x^4 +2x^2 +1,
\implies V = \pi\int_{-2}^{1}\bigl(-x^4 -x^2 -6x +8\bigr)\,dx =\pi\Bigl[-\tfrac{1}{5}x^5 -\tfrac{1}{3}x^3 -3x^2 +8x\Bigr]_{-2}^{1}.
Avaliando de -2 a 1
V = \pi\cdot \frac{117}{5} = \frac{117\pi}{5}.

Resposta

(a) Esboço: a região entre a parábola y=x^2+1 (vértice em (0,1)) e a reta y=-x+3, entre os pontos de interseção (-2,5) e (1,2).
(b) \mathrm{Área}(A)=\frac{9}{2}.Á
(c) \mathrm{Volume}=\frac{117\pi}{5}.

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