Sendo y=y(x), resolva :
(2.5 pontos) \quad x^{2} y^{\prime}-2 x y-x y^{2}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
x^{2}y' - 2xy - xy^{2} = 0
e pede a solução geral y = y(x). Observamos que é uma equação separável, pois podemos escrever y' em função de x e y de modo a isolar variáveis.

Passo 2

Supondo x\neq 0, dividimos toda a equação por x^{2} para isolar y':
y' = \frac{2xy + xy^{2}}{x^{2}} = \frac{2y + y^{2}}{x} = \frac{y(2+y)}{x}.
Agora separamos variáveis:
\frac{dy}{y(2+y)} = \frac{dx}{x}.

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais:
\frac{1}{y(2+y)} = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{y} - \frac{1}{y+2}\Bigr).
Logo,
\int \frac{dy}{y(2+y)} = \frac{1}{2}\int\Bigl(\frac{1}{y} - \frac{1}{y+2}\Bigr)dy = \frac{1}{2}\bigl(\ln|y| - \ln|y+2|\bigr).
À direita,
\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C.

Passo 4

Igualando as integrais:
\frac{1}{2}\bigl(\ln|y| - \ln|y+2|\bigr) = \ln|x| + C \quad\Longrightarrow\quad \ln\Bigl|\frac{y}{y+2}\Bigr| = 2\ln|x| + C' = \ln\bigl(|x|^{2}\bigr) + C'.
Exponentiando,
\Bigl|\frac{y}{y+2}\Bigr| = K\,x^{2},
onde K=e^{C'} é constante arbitrária.

Passo 5

Removendo o valor absoluto e resolvendo para y:
\frac{y}{y+2} = C\,x^{2} \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{2C\,x^{2}}{1 - C\,x^{2}},
com C constante arbitrária. Além disso, notamos que y=0 e y=-2 são soluções constantes (singulares) da equação original.

Resposta

y(x) = \frac{2C\,x^{2}}{1 - C\,x^{2}},
onde C é constante arbitrária, além das soluções singulares
y(x)=0 \quad\text{e}\quad y(x)=-2.

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