Sendo
, resolva :
(2.5 pontos) \quad x^{2} y^{\prime}-2 x y-x y^{2}=0
(2.5 pontos) \quad x^{2} y^{\prime}-2 x y-x y^{2}=0
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede a solução geral
. Observamos que é uma equação separável, pois podemos escrever
em função de
e
de modo a isolar variáveis.
Passo 2
Supondo
, dividimos toda a equação por
para isolar
:
Agora separamos variáveis:
Passo 3
Para integrar o lado esquerdo, usamos frações parciais:
Logo,
À direita,
Passo 4
Igualando as integrais:
Exponentiando,
onde
é constante arbitrária.
Passo 5
Removendo o valor absoluto e resolvendo para
:
com
constante arbitrária. Além disso, notamos que
e
são soluções constantes (singulares) da equação original.
Resposta
onde
é constante arbitrária, além das soluções singulares