Resolva as equações diferenciais lineares homogêneas de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes constantes.
25 y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+8 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
25\,y'' - 5\,y' + 8\,y = 0.
Para resolver, vamos usar o método da equação característica: assumimos y=e^{r x}, montamos a equação característica em r, encontramos suas raízes e, a partir delas, escrevemos a solução geral.

Passo 2

Supondo y=e^{r x}, temos y'=r e^{r x} e y''=r^2 e^{r x}. Substituindo na EDO:
25\,r^2 e^{r x} - 5\,r e^{r x} + 8\,e^{r x} = 0.
Como e^{r x}\neq0, a equação característica é
25\,r^2 - 5\,r + 8 = 0.

Passo 3

Vamos calcular o discriminante \Delta e as raízes de
25\,r^2 -5\,r +8=0.
O discriminante é
\Delta = (-5)^2 - 4\cdot25\cdot8 = 25 - 800 = -775.
Como \Delta<0, as raízes serão complexas:
r = \frac{5 \pm \sqrt{-775}}{2\cdot25} = \frac{5 \pm i\sqrt{775}}{50}.

Passo 4

Observamos que \sqrt{775}=\sqrt{25\cdot31}=5\sqrt{31}. Logo,
r = \frac{5}{50} \pm \frac{5\sqrt{31}}{50}\,i = \frac{1}{10} \pm \frac{\sqrt{31}}{10}\,i.
Chamando \alpha = \tfrac{1}{10} e \beta = \tfrac{\sqrt{31}}{10}, temos raízes r=\alpha\pm i\beta.

Passo 5

Para raízes complexas conjugadas r=\alpha\pm i\beta, a solução geral é
y(x) = e^{\alpha x}\bigl(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\bigr).
Substituindo \alpha e \beta:
y(x) = e^{\tfrac{x}{10}}\Bigl(C_{1}\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{31}}{10}x\bigr) + C_{2}\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{31}}{10}x\bigr)\Bigr).

Resposta

y(x) = e^{\tfrac{x}{10}}\Bigl(C_{1}\cos\bigl(\tfrac{\sqrt{31}}{10}x\bigr) + C_{2}\sin\bigl(\tfrac{\sqrt{31}}{10}x\bigr)\Bigr).

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