\int_{0}^{\pi / 6} e^{\sin (3 x)} \cdot 3 \cos (3 x) d x
Subst.: u=\sin (3 x) \Rightarrow d u=3 \cos (3 x) d x. Limites: 0 \rightarrow 1.
\int_{0}^{1} e^{u} d u=e-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/6} e^{\sin(3x)}\cdot 3\cos(3x)\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por substituição, pois vemos 3\cos(3x)\,dx que é a derivada de \sin(3x).

Passo 2

Fazendo a substituição
u = \sin(3x), \quad du = 3\cos(3x)\,dx.
Quando x=0, temos u=\sin(0)=0.
Quando x=\pi/6, temos u=\sin(\pi/2)=1.

Passo 3

Com essa mudança de variável, a integral em x vira uma integral em u:
\int_{0}^{\pi/6} e^{\sin(3x)}\cdot 3\cos(3x)\,dx = \int_{0}^{1} e^{u}\,du.

Passo 4

Agora basta integrar e^{u}:
\int_{0}^{1} e^{u}\,du = \bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} = e^{1}-e^{0} = e - 1.

Resposta

e - 1

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