\int_{0}^{\pi / 6} e^{\sin (3 x)} \cdot 3 \cos (3 x) d x
Subst.: u=\sin (3 x) \Rightarrow d u=3 \cos (3 x) d x. Limites: 0 \rightarrow 1.
\int_{0}^{1} e^{u} d u=e-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi/6} e^{\sin(3x)} \cdot 3\cos(3x)\,dx.
O conteúdo é aplicação de substituição simples (mudança de variável).

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = \sin(3x),
de modo que
du = 3\cos(3x)\,dx.
Precisamos também transformar os limites:
quando x=0, u=\sin(0)=0;
quando x=\pi/6, u=\sin(\pi/2)=1.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
\int_{0}^{\pi/6} e^{\sin(3x)} \cdot 3\cos(3x)\,dx =\int_{0}^{1} e^{u}\,du.

Passo 4

Agora integramos e^{u}:
\int_{0}^{1} e^{u}\,du =\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} =e^{1}-e^{0} =e-1.

Resposta

e-1

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