(ITA 2022) Seja
e denote por
a parte imaginária de
. Determine todos os possíveis
com
tais que temos simultaneamente
e
.
Passo 1
O enunciado pede todos os
com
tais que
Para resolver, vamos escrever
, usar a expressão de
em termos de
e obter condições algébricas que definem
.
Passo 2
Calculemos
. Para
,
portanto
Como
tem
, exigimos
Passo 3
Agora
. Escrevendo
, análogo cálculo dá
Como
, impõe-se
Passo 4
Unimos as duas condições:
Testamos as quatro combinações de sinais:
-
Se
e , então
leva a , impossível. -
Se
e , então
dá
, logo e
. -
Se
e , então
dá
, logo e
. -
Se
e , a equação seria
, que leva a contradição .
Assim os únicos pontos são
ou seja
Resposta
As soluções com
são