(ITA 2022) Seja z \in \mathbb{C} e denote por \operatorname{Im}(z) a parte imaginária de z. Determine todos os possíveis z \in \mathbb{C} com \operatorname{Im}(z) \neq 0 tais que temos simultaneamente \operatorname{Im}\left(z^{3}\right)=0 e \operatorname{Im}\left((1+z)^{3}\right)=0.

Passo 1

O enunciado pede todos os z\in\mathbb{C} com \operatorname{Im}(z)\neq0 tais que
\operatorname{Im}\bigl(z^3\bigr)=0 \quad\text{e}\quad \operatorname{Im}\bigl((1+z)^3\bigr)=0.
Para resolver, vamos escrever z=x+iy, usar a expressão de \operatorname{Im}(w^3) em termos de x,y e obter condições algébricas que definem z.

Passo 2

Calculemos \operatorname{Im}(z^3). Para z=x+iy,
z^3 = (x+iy)^3 = x^3 + 3ix^2y - 3xy^2 - i y^3,
portanto
\operatorname{Im}(z^3) = 3x^2y - y^3 = y\bigl(3x^2 - y^2\bigr).
Como \operatorname{Im}(z)\neq0 tem y\neq0, exigimos
3x^2 - y^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad y^2 = 3x^2 \quad\Longrightarrow\quad y = \pm\sqrt{3}\,x.

Passo 3

Agora \operatorname{Im}\bigl((1+z)^3\bigr)=0. Escrevendo 1+z=(1+x)+iy, análogo cálculo dá
\operatorname{Im}\bigl((1+z)^3\bigr) = y\bigl(3(1+x)^2 - y^2\bigr).
Como y\neq0, impõe-se
3(1+x)^2 - y^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad y^2 = 3(1+x)^2 \quad\Longrightarrow\quad y = \pm\sqrt{3}\,(1+x).

Passo 4

Unimos as duas condições:
y = \pm\sqrt{3}\,x \quad\text{e}\quad y = \pm\sqrt{3}\,(1+x).
Testamos as quatro combinações de sinais:
  1. Se y=+\sqrt{3}\,x e y=+\sqrt{3}\,(1+x), então
    \sqrt{3}\,x = \sqrt{3}\,(1+x) leva a x= x+1, impossível.
  2. Se y=+\sqrt{3}\,x e y=-\sqrt{3}\,(1+x), então
    \sqrt{3}\,x = -\sqrt{3}\,(1+x)
    x = -1 - x, logo x=-\tfrac12 e
    y=+\sqrt{3}\,x = -\tfrac{\sqrt{3}}2.
  3. Se y=-\sqrt{3}\,x e y=+\sqrt{3}\,(1+x), então
    -\sqrt{3}\,x = \sqrt{3}\,(1+x)
    -x = 1+x, logo x=-\tfrac12 e
    y=-\sqrt{3}\,x = +\tfrac{\sqrt{3}}2.
  4. Se y=-\sqrt{3}\,x e y=-\sqrt{3}\,(1+x), a equação seria
    -x = -(1+x), que leva a contradição 0=1.
Assim os únicos pontos são
x=-\tfrac12,\quad y=\pm\tfrac{\sqrt{3}}2,
ou seja
z = -\tfrac12 \pm i\,\tfrac{\sqrt{3}}2.

Resposta

As soluções com \operatorname{Im}(z)\neq0 são
z = -\tfrac12 + i\,\tfrac{\sqrt{3}}2 \quad\text{e}\quad z = -\tfrac12 - i\,\tfrac{\sqrt{3}}2.

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