(ITA 2023) Sejam z \in \mathbb{C} e f(z)=z^{2}+i. Para cada n \in \mathbb{N}, definimos f^{(1)}(z)= f(z) e f^{(n)}(z)=f\left(f^{(n-1)}\right)(z). Então f^{(2023)}(0) é
\mathrm{A}() 1-i \quad \mathrm{~B}() i-1 . \quad \mathrm{C}()-1-i . \quad \mathrm{D}() i . \quad \mathrm{E}()-i .

Passo 1

O enunciado define a função \,f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} dada por
f(z)=z^{2}+i
e os iterados \,f^{(1)}(z)=f(z), \,f^{(n)}(z)=f\bigl(f^{(n-1)}\bigr)(z).
Queremos calcular \,f^{(2023)}(0).
O conteúdo aqui é iteração de função em \mathbb{C} e identificação de eventual ciclo nos valores.

Passo 2

Definimos a sequência \,a_{n}=f^{(n)}(0).
Primeiro termo:
a_{0}=0.
Em seguida,
a_{1}=f(0)=0^{2}+i=i.
Logo, \,a_{1}=i.

Passo 3

Calculamos mais dois termos para tentar ver um padrão:
a_{2}=f(a_{1})=f(i)=i^{2}+i=-1+i,
a_{3}=f(a_{2})=f(-1+i)=(-1+i)^{2}+i =\bigl(1-2i-1\bigr)+i=-i.

Passo 4

Continuando,
a_{4}=f(a_{3})=f(-i)=(-i)^{2}+i=-1+i,
a_{5}=f(a_{4})=f(-1+i)=(-1+i)^{2}+i=-i.
Percebe-se um ciclo de período 2 para n\ge2:
  • se n é par \ge2, então a_{n}=-1+i;
  • se n é ímpar \ge3, então a_{n}=-i.

Passo 5

Como 2023 é ímpar e maior que 3, pelo ciclo temos
a_{2023}=-i.

Resposta

-i

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