(ITA 2024) Sejam
e
números complexos. O menor valor de
tal que
é:
A ( ) 6
B ( ) 8
C ( ) 10
D ( ) 12
E ( ) não existe
satisfazendo a igualdade
A ( ) 6
B ( ) 8
C ( ) 10
D ( ) 12
E ( ) não existe
Passo 1
O enunciado pede o menor
tal que
onde
O conteúdo é a forma polar de números complexos e igualdade de potências.
Passo 2
Calculamos módulo e argumento de
e
. Primeiro o módulo, que em ambos é
Como
, ambos estão na circunferência de raio
.
Passo 3
Agora os argumentos. Chamando
e
,
Usando a fórmula do cosseno da diferença,
Logo
(tomando o valor positivo no primeiro quadrante).
Passo 4
Como
, o quociente
Então
Para ter
é necessário
, ou seja
O menor
é
.
Resposta
(D)