(ITA 2024) Sejam a=1+3 \sqrt{3} i e b=2 \sqrt{3}+4 i números complexos. O menor valor de m \in \mathbb{N} tal que a^{m}=b^{m} é:
A ( ) 6
B ( ) 8
C ( ) 10
D ( ) 12
E ( ) não existe m \in \mathbb{N} satisfazendo a igualdade

Passo 1

O enunciado pede o menor m\in\mathbb{N} tal que
a^m = b^m
onde
a = 1 + 3\sqrt{3}\,i, \quad b = 2\sqrt{3} + 4\,i.
O conteúdo é a forma polar de números complexos e igualdade de potências.

Passo 2

Calculamos módulo e argumento de a e b. Primeiro o módulo, que em ambos é
|a| = \sqrt{1^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 27} = 2\sqrt{7},
|b| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 4^2} = \sqrt{12 + 16} = 2\sqrt{7}.
Como |a|=|b|, ambos estão na circunferência de raio 2\sqrt{7}.

Passo 3

Agora os argumentos. Chamando \alpha=\arg(a) e \beta=\arg(b),
\cos\alpha = \frac{1}{2\sqrt{7}},\quad \sin\alpha = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}},
\cos\beta = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}},\quad \sin\beta = \frac{4}{2\sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}.
Usando a fórmula do cosseno da diferença,
\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2\sqrt{7}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} + \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}\cdot\frac{2}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{14} + \frac{6\sqrt{3}}{14} = \frac{\sqrt{3}}{2}.
Logo \alpha-\beta = \tfrac{\pi}{6} (tomando o valor positivo no primeiro quadrante).

Passo 4

Como |a|=|b|, o quociente
\frac{a}{b} = e^{i(\alpha-\beta)} = e^{i\pi/6}.
Então
\frac{a^m}{b^m} = \Bigl(\frac{a}{b}\Bigr)^m = e^{im\pi/6}.
Para ter a^m=b^m é necessário e^{im\pi/6}=1, ou seja
m\frac{\pi}{6} = 2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z} \quad\Longrightarrow\quad m = 12k.
O menor m\in\mathbb{N} é m=12.

Resposta

(D)

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