\int_{0}^{3 / 2} \int_{-\sqrt{9-4 t{2}}}{\sqrt{9-4 t^{2}}} t d s d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{3/2}\int_{-\sqrt{9-4t^{2}}}^{\sqrt{9-4t^{2}}}t\,ds\,dt.
O conteúdo é cálculo de integrais iteradas: primeiro integramos em s, depois em t.

Passo 2

Integramos em s, lembrando que t é tratado como constante nessa etapa:
\int_{-\sqrt{9-4t^{2}}}^{\sqrt{9-4t^{2}}}t\,ds = t\int_{-\sqrt{9-4t^{2}}}^{\sqrt{9-4t^{2}}}ds = t\bigl[\,s\bigr]_{-\sqrt{9-4t^{2}}}^{\sqrt{9-4t^{2}}} = t\cdot2\sqrt{9-4t^{2}}.

Passo 3

Substituindo na integral externa, obtemos
\int_{0}^{3/2}t\cdot2\sqrt{9-4t^{2}}\,dt =2\int_{0}^{3/2}t\sqrt{9-4t^{2}}\,dt.

Passo 4

Fazemos a substituição u=9-4t^{2}, logo du=-8t\,dt ou t\,dt=-\tfrac{1}{8}du. Quando t=0, u=9; quando t=\tfrac{3}{2}, u=9-4\cdot\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}=0. Assim,
2\int_{0}^{3/2}t\sqrt{9-4t^{2}}\,dt =2\int_{u=9}^{u=0}\sqrt{u}\,\Bigl(-\tfrac{1}{8}\Bigr)du =-\tfrac{1}{4}\int_{9}^{0}u^{1/2}du =\tfrac{1}{4}\int_{0}^{9}u^{1/2}du.

Passo 5

Calculamos a integral em u:
\tfrac{1}{4}\int_{0}^{9}u^{1/2}du =\tfrac{1}{4}\Bigl[\tfrac{2}{3}u^{3/2}\Bigr]_{0}^{9} =\tfrac{1}{4}\cdot\tfrac{2}{3}\cdot9^{3/2} =\tfrac{1}{6}\cdot27 =\tfrac{27}{6} =\tfrac{9}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{9}{2}

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