\int_{0}^{1} \int_{\sqrt{y}}^{2-\sqrt{y}} x y d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{\sqrt{y}}^{\,2-\sqrt{y}} x\,y \,dx\,dy.
O conteúdo é integração dupla por redução a integrais iteradas. Quando temos \int\!\!\int x\,y\,dx\,dy com limites em x dependentes de y, a estratégia é primeiro integrar em x, tratando y como constante, e depois integrar em y.

Passo 2

Vamos calcular a integral interna em x:
\int_{\sqrt{y}}^{\,2-\sqrt{y}} x\,y\,dx = y\int_{\sqrt{y}}^{\,2-\sqrt{y}} x\,dx = y\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{\sqrt{y}}^{\,2-\sqrt{y}} = \frac{y}{2}\Bigl((2-\sqrt{y})^{2} - (\sqrt{y})^{2}\Bigr).

Passo 3

Expandindo e simplificando:
(2-\sqrt{y})^{2} = 4 - 4\sqrt{y} + y, \quad (\sqrt{y})^{2} = y,
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\frac{y}{2}\Bigl((2-\sqrt{y})^{2} - (\sqrt{y})^{2}\Bigr) = \frac{y}{2}\bigl(4 - 4\sqrt{y}\bigr) = 2\,y\,(1 - \sqrt{y}).
Assim a integral dupla vira
\int_{0}^{1}2\,y\,(1-\sqrt{y})\,dy.

Passo 4

Agora integramos em y:
\int_{0}^{1}2\,y\,(1-\sqrt{y})\,dy = 2\int_{0}^{1}\bigl(y - y^{3/2}\bigr)\,dy = 2\left[\int_{0}^{1}y\,dy \;-\;\int_{0}^{1}y^{3/2}\,dy\right].
Calculamos cada parcela:
\int_{0}^{1}y\,dy = \left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}, \quad \int_{0}^{1}y^{3/2}\,dy = \left[\frac{y^{5/2}}{5/2}\right]_{0}^{1} = \frac{2}{5}.
Substituindo de volta:
2\Bigl(\tfrac12 - \tfrac{2}{5}\Bigr) = 2\Bigl(\tfrac{5-4}{10}\Bigr) = 2\cdot\tfrac{1}{10} = \tfrac{1}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}

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