\int_{0}^{1} \int_{-1}^{0} \int_{0}{y{2}} d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume da região dada pelo integral iterado
\int_{0}^{1}\int_{-1}^{0}\int_{0}^{y^{2}}dz\,dy\,dx.
O conteúdo aqui é a Regra de Fubini: podemos integrar em z, depois em y e finalmente em x, pois o integrando é constante igual a 1.

Passo 2

Primeiro, integramos em z, mantendo y fixo:
\int_{0}^{y^{2}}dz = \bigl[z\bigr]_{0}^{y^{2}} = y^{2}.

Passo 3

Agora substituímos esse resultado no integral em y:
\int_{-1}^{0}y^{2}\,dy = \left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{-1}^{0} = 0 - \bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr) = \frac{1}{3}.

Passo 4

Por fim, integramos em x, lembrando que o resultado anterior é constante em x:
\int_{0}^{1}\frac{1}{3}\,dx = \frac{1}{3}\bigl[x\bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{3}\cdot1 = \frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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