Questão 7. Determine o coeficiente do termo x^{3} no desenvolvimento de (x+2)^{10}.

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente do termo x^3 no desenvolvimento de (x+2)^{10}. Vamos resolver usando o Teorema Binomial, que nos dá uma expressão geral para cada termo na expansão de (a+b)^n.

Passo 2

Pelo Teorema Binomial, temos
(x+2)^{10} \;=\;\sum_{k=0}^{10}\binom{10}{k}\,x^k\,2^{\,10-k}.
Isso significa que o termo em x^k é \displaystyle\binom{10}{k}2^{10-k}.

Passo 3

Para obter o coeficiente de x^3, basta tomar k=3. Assim o coeficiente procurado é
\binom{10}{3}\,2^{\,10-3}.

Passo 4

Agora calculamos cada parte:
\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!7!} = 120, \quad 2^7 = 128.
Multiplicando,
120 \times 128 = 15360.

Resposta

O coeficiente do termo x^3 em (x+2)^{10} é 15360.

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