\text{o integral é definida no intervalo }x\in[1,8],
\text{o integrando é } \sqrt{2x + x^{2}}.
Objetivo: calcular o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Primeira simplificação útil: completar o quadrado dentro da raiz para deixar a expressão mais manejável. Observe que
x^{2}+2x = (x+1)^{2}-1.
Então podemos reescrever o integrando como
\sqrt{2x + x^{2}} = \sqrt{(x+1)^{2}-1}.
Essa forma sugere uma substituição simples para eliminar o termo quadrático dentro da raiz.
Passo 3
Faça a substituição de variável
u = x+1.
Explico o porquê: isso centraliza o quadrado em torno de u, transformando a raiz em \sqrt{u^{2}-1}, forma padrão que conhecemos bem. Agora trocamos os limites:
\text{quando } x=1,\; u=1+1=2,
\text{quando } x=8,\; u=8+1=9.
Além disso du = dx. Portanto a integral passa a ser
\int_{1}^{8} \sqrt{2x + x^{2}}\; dx = \int_{2}^{9} \sqrt{u^{2}-1}\; du.
Passo 4
Agora precisamos calcular a integral indefinida \int \sqrt{u^{2}-1}\; du. Vou derivar a fórmula padrão de forma didática usando a substituição trigonométrica apropriada, já que para expressões do tipo \sqrt{u^{2}-a^{2}} a substituição u = a\operatorname{sec}\theta é natural (aqui a=1).
\int \sqrt{u^{2}-1}\; du = \left(\frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta + \tan\theta\bigr|\right) - \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta + \tan\theta\bigr| + C.
Isso simplifica para
\int \sqrt{u^{2}-1}\; du = \frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta - \frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta + \tan\theta\bigr| + C.
Passo 7
Volte para a variável u. Lembre que escolhimos u=\operatorname{sec}\theta, então \operatorname{sec}\theta = u e \tan\theta = \sqrt{u^{2}-1}. Substituindo:
\int \sqrt{u^{2}-1}\; du = \frac{u}{2}\sqrt{u^{2}-1} - \frac{1}{2}\ln\bigl|u + \sqrt{u^{2}-1}\bigr| + C.
Essa é a fórmula padrão para a primitiva de \sqrt{u^{2}-1}. Aqui cada símbolo significa:
u = \text{variável de integração},áçã
\sqrt{u^{2}-1} = \text{a função dentro da raiz},çã
e C é a constante de integração.
Passo 8
Agora aplicamos essa primitiva aos limites da integral definida \int_{2}^{9} \sqrt{u^{2}-1}\; du. Ou seja, calcule
Lembre que a integral original \int_{1}^{8} \sqrt{2x + x^{2}}\; dx virou \int_{2}^{9} \sqrt{u^{2}-1}\; du pela substituição u=x+1. Portanto o resultado obtido é o resultado final da integral dada.