1. \int_{1}^{8} \sqrt{2 x+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral definida
\int_{1}^{8} \sqrt{2x + x^{2}}\; dx.
Informações relevantes dadas:
\text{o integral é definida no intervalo }x\in[1,8],é
\text{o integrando é } \sqrt{2x + x^{2}}.é
Objetivo: calcular o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Primeira simplificação útil: completar o quadrado dentro da raiz para deixar a expressão mais manejável. Observe que
x^{2}+2x = (x+1)^{2}-1.
Então podemos reescrever o integrando como
\sqrt{2x + x^{2}} = \sqrt{(x+1)^{2}-1}.
Essa forma sugere uma substituição simples para eliminar o termo quadrático dentro da raiz.

Passo 3

Faça a substituição de variável
u = x+1.
Explico o porquê: isso centraliza o quadrado em torno de u, transformando a raiz em \sqrt{u^{2}-1}, forma padrão que conhecemos bem. Agora trocamos os limites:
\text{quando } x=1,\; u=1+1=2,
\text{quando } x=8,\; u=8+1=9.
Além disso du = dx. Portanto a integral passa a ser
\int_{1}^{8} \sqrt{2x + x^{2}}\; dx = \int_{2}^{9} \sqrt{u^{2}-1}\; du.

Passo 4

Agora precisamos calcular a integral indefinida \int \sqrt{u^{2}-1}\; du. Vou derivar a fórmula padrão de forma didática usando a substituição trigonométrica apropriada, já que para expressões do tipo \sqrt{u^{2}-a^{2}} a substituição u = a\operatorname{sec}\theta é natural (aqui a=1).
Escolha da substituição: para \sqrt{u^{2}-1} tome
u = \operatorname{sec}\theta,
porque então
\sqrt{u^{2}-1} = \sqrt{\operatorname{sec}^{2}\theta - 1} = \tan\theta,
e
du = \operatorname{sec}\theta\tan\theta \; d\theta.
Essas relações permitem transformar a integral em funções trigonométricas mais fáceis de integrar.

Passo 5

Substituindo na integral indefinida:
\int \sqrt{u^{2}-1}\; du = \int \tan\theta \cdot (\operatorname{sec}\theta \tan\theta)\; d\theta = \int \operatorname{sec}\theta \tan^{2}\theta\; d\theta.
Use a identidade \tan^{2}\theta = \operatorname{sec}^{2}\theta - 1 para continuar:
\int \operatorname{sec}\theta \tan^{2}\theta\; d\theta = \int \operatorname{sec}\theta(\operatorname{sec}^{2}\theta - 1)\; d\theta = \int \operatorname{sec}^{3}\theta\; d\theta - \int \operatorname{sec}\theta\; d\theta.

Passo 6

Agora integramos cada termo conhecido:
  • A primitiva de \operatorname{sec}\theta é
\int \operatorname{sec}\theta\; d\theta = \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta + \tan\theta\bigr| + C.
  • A primitiva de \operatorname{sec}^{3}\theta é (fórmula padrão que pode ser obtida por partes)
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\; d\theta = \frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta + \tan\theta\bigr| + C.
Subtraindo as duas primitivas obtemos:
\int \sqrt{u^{2}-1}\; du = \left(\frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta + \tan\theta\bigr|\right) - \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta + \tan\theta\bigr| + C.
Isso simplifica para
\int \sqrt{u^{2}-1}\; du = \frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta - \frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta + \tan\theta\bigr| + C.

Passo 7

Volte para a variável u. Lembre que escolhimos u=\operatorname{sec}\theta, então \operatorname{sec}\theta = u e \tan\theta = \sqrt{u^{2}-1}. Substituindo:
\int \sqrt{u^{2}-1}\; du = \frac{u}{2}\sqrt{u^{2}-1} - \frac{1}{2}\ln\bigl|u + \sqrt{u^{2}-1}\bigr| + C.
Essa é a fórmula padrão para a primitiva de \sqrt{u^{2}-1}. Aqui cada símbolo significa:
u = \text{variável de integração},áçã
\sqrt{u^{2}-1} = \text{a função dentro da raiz},çã
e C é a constante de integração.

Passo 8

Agora aplicamos essa primitiva aos limites da integral definida \int_{2}^{9} \sqrt{u^{2}-1}\; du. Ou seja, calcule
\left[\frac{u}{2}\sqrt{u^{2}-1} - \frac{1}{2}\ln\bigl(u + \sqrt{u^{2}-1}\bigr)\right]_{u=2}^{u=9}.

Passo 9

Avalie a expressão no limite superior u=9:
\sqrt{9^{2}-1} = \sqrt{81-1} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5},
portanto
\frac{9}{2}\sqrt{9^{2}-1} = \frac{9}{2}\cdot 4\sqrt{5} = 18\sqrt{5},
e
\frac{1}{2}\ln\bigl(9 + \sqrt{9^{2}-1}\bigr) = \frac{1}{2}\ln\bigl(9 + 4\sqrt{5}\bigr).

Passo 10

Avalie a expressão no limite inferior u=2:
\sqrt{2^{2}-1} = \sqrt{4-1} = \sqrt{3},
portanto
\frac{2}{2}\sqrt{2^{2}-1} = 1\cdot \sqrt{3} = \sqrt{3},
e
\frac{1}{2}\ln\bigl(2 + \sqrt{2^{2}-1}\bigr) = \frac{1}{2}\ln\bigl(2 + \sqrt{3}\bigr).

Passo 11

Agora subtraia valor em u=2 do valor em u=9:
\int_{2}^{9} \sqrt{u^{2}-1}\; du = \bigl(18\sqrt{5} - \tfrac{1}{2}\ln(9 + 4\sqrt{5})\bigr) - \bigl(\sqrt{3} - \tfrac{1}{2}\ln(2 + \sqrt{3})\bigr).
Organizando os termos:
\int_{2}^{9} \sqrt{u^{2}-1}\; du = 18\sqrt{5} - \sqrt{3} - \tfrac{1}{2}\ln(9 + 4\sqrt{5}) + \tfrac{1}{2}\ln(2 + \sqrt{3}).
Podemos combinar os logaritmos:
-\tfrac{1}{2}\ln(9 + 4\sqrt{5}) + \tfrac{1}{2}\ln(2 + \sqrt{3}) = -\tfrac{1}{2}\ln\!\biggl(\dfrac{9 + 4\sqrt{5}}{2 + \sqrt{3}}\biggr).

Passo 12

Lembre que a integral original \int_{1}^{8} \sqrt{2x + x^{2}}\; dx virou \int_{2}^{9} \sqrt{u^{2}-1}\; du pela substituição u=x+1. Portanto o resultado obtido é o resultado final da integral dada.

Resposta

18\sqrt{5} - \sqrt{3} - \dfrac{1}{2}\ln(9 + 4\sqrt{5}) + \dfrac{1}{2}\ln(2 + \sqrt{3})

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