\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{64}{n^{6}} \sum_{i=1}^{n} i^{5}

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite:
\lim_{n\to\infty} \frac{64}{n^{6}} \sum_{i=1}^{n} i^{5}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Temos uma soma finita \sum_{i=1}^{n} i^{5}.
  • A expressão anterior é multiplicada por \dfrac{64}{n^{6}}.
  • O objetivo é calcular o valor do limite quando n tende a infinito.

Passo 2

Vamos reescrever a expressão de forma que ela pareça uma soma de Riemann (isto nos ajuda a identificar um integral). Observe:
\frac{64}{n^{6}} \sum_{i=1}^{n} i^{5} =64\cdot\frac{\sum_{i=1}^{n} i^{5}}{n^{6}}.
Agora divida numerador e denominador por n^{5} dentro da soma para obter frações adimensionais:
\frac{\sum_{i=1}^{n} i^{5}}{n^{6}} =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{i}{n}\right)^{5}.
Portanto a expressão inteira fica
\frac{64}{n^{6}} \sum_{i=1}^{n} i^{5} =64\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{i}{n}\right)^{5}.

Passo 3

Explicando o que fizemos e por que isso ajuda: a soma
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{i}{n}\right)^{5}
é exatamente a forma padrão de uma soma de Riemann para a função f(x)=x^{5} no intervalo [0,1], usando a partição uniforme com n subintervalos e os pontos de amostragem x_i=\dfrac{i}{n}. Em termos concretos:
  • O intervalo [0,1] é dividido em n subintervalos de largura \Delta x=\dfrac{1}{n}.
  • Tomando x_i=\dfrac{i}{n} (ponto à direita de cada subintervalo), a soma de Riemann direita é
\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{i}{n}\right)^{5}\cdot\frac{1}{n}.
Teorema (intuição): se f é contínua em [0,1] então a soma de Riemann converge para a integral definida:
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{i}{n}\right)^{5}=\int_{0}^{1} x^{5}\,dx.
A função f(x)=x^{5} é polinomial (logo contínua), então podemos aplicar esse resultado.

Passo 4

Assim, tomando limite na expressão original:
\lim_{n\to\infty}\frac{64}{n^{6}} \sum_{i=1}^{n} i^{5} =64\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{i}{n}\right)^{5} =64\cdot\int_{0}^{1} x^{5}\,dx.

Passo 5

Agora calcule a integral. Uma primitiva de x^{5} é \dfrac{x^{6}}{6}. Portanto
\int_{0}^{1} x^{5}\,dx=\left.\frac{x^{6}}{6}\right|_{0}^{1}=\frac{1^{6}}{6}-\frac{0^{6}}{6}=\frac{1}{6}.

Passo 6

Multiplicando pelo fator 64 obtém-se o valor do limite:
64\cdot\frac{1}{6}=\frac{64}{6}=\frac{32}{3}.

Resposta

\dfrac{32}{3}

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